2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

* 上页 下页 返回 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性与拐点 单调增加; 单调减少. 一、函数的单调性 定理1 , 0 ) ( ) , ( ) 1 ( ￠ x f b a 内 如果在 则函数 则函数 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 ， 内 如果在 0 ) ( ) , ( ) 2 ( ￠ x f b a 证 (1) (2) 由拉格朗日中值定理， §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 注 ① 函数的单调性是一个区间上的性质， 要用导数在这一区间上的符号来判定， 个别点的导数值不影响函数的单调性. 例如， 当 时， 当 时， 函数在整个定义域内单调增加. 此定理不论对于开、闭区间、有限或无穷区间都正确. §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 定义1 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 单调区间的求法 然后判定区间 内导数的符号. 是单调区间的分界点． 由定义，导数等于零的点和不可导的点,有可能 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 例1 确定函数 的单调区间. 解 定义域 当 时， 在 上单调增加； 当 时， 在 上单调减少； 当 时， 在 上单调增加. 故单调增区间为 单调减区间为 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 例2 解 故单调增区间为 单调减区间为 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 例3 证 证明当 时， 成立. 即 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 例4 证明当 时， . 证 令 则 函数单调增加， 故 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 例5 证 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 证明不等式时，有时需要利用二阶导函数的符号判定一阶导函数的单调性，依次类推. 注 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 二、曲线的凹凸性与拐点 x y O 通过单调性可以判断函数对应曲线是上升的还是下降的； 但仅由单调性不能完全把握曲线的形状，需研究曲线的弯曲方向. §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 A B C 曲线弧上每一点的切线 定义2 (上) 方, 称此曲线弧为凹 的; (凸) 凹弧的曲线段 的切线斜率是单增的, 是单增的, 凸弧的切线斜率是单减的, 是单减的. 从几何直观上, 随着x的增大, 都在曲线的下 变凸（或由凸变凹）的分界点为曲线的拐点. 称连续曲线上由凹 1. 凹凸性的定义 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 定理2 二阶导数, 凹 (凸) 2. 凹凸性的判别法 §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 拐点的判别方法 3. 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. 具有二阶导数, (1) (2) 则一定有 (或x0为二阶导数不存在的点) 点 是拐点， §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 注 例6 解 凸 变 凹 的分界点. x y O §2.8 函数的单调性与曲线的凹凸性 * 上页 下页 返回