函数单调性与凹凸判别.pdf
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§3.4函数的单调性
与曲线的性
函数单调性的判别法
单调区间求法
曲线性的判别法
曲线的拐点及其求法
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第三章微分中值定理与导数的应用
一、单调性的判别法
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究
函数的性态时，首先
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Hw：p1513(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)，8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。更进一步有不等式：Nove.9Wed.Review函数单调性判别法函数凸性及其判别法1若函数可微：2凸函数3凹函数4函数凸性判别法：求拐点的步骤：考察在这些点的左、右的凹凸性。函数的极值：极大值与极小值渐近线；02函数作图。03函数的极值与求法；015函数极值、函数作图定义：1函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2一.函数的极值与求法01注意:03极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).02例如,定理1(必要条件)定理2(第一充分条件
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1函数单调性的判别法单调区间求法§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第三章微分中值定理与导数的应用
2一、单调性的判别法函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。
3从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的.这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。定理
4证应用拉氏定理,
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Nove. 7 Fri. Review
1. 局部Taylor展开式：
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
带Lagrange余项的Maclaurin公式：
Nove. 4 Fri. §4 函数单调性与凸性的判别法
函数单调性判别法
函数的凸性及其判别法
一. 函数单调性的判别法
定义
定理1
证明：
定理2
证明：
例
证明：
证明：
解：
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二. 函数
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由此即得第21页,共38页，2024年2月25日，星期天二、曲线的凹凸性及判别法考察右图中的曲线,注意到即设点与点曲线是向下凸的,即任取曲线上两点,那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方.是曲线上任意两点,那么介于之间的中点的函数值满足第22页,共38页，2024年2月25日，星期天由此我们引入曲线凹凸性的定义.第23页,共38页，2024年2月25日，星期天定义设函数在区间中连续，如果对任意的则称曲线在区间内是下凸的（或称凹弧）.都有第24页,共38页，2024年2月25日，星期天如果对任意的都有则称曲线在区间内是上凸的（或称凸弧）.第25页,共38页，2024年2月25日，星期天上下
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* 第九节 函数单调性与曲线凹凸性的判别法 本节要点 本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函 一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸性的判别法 数的单调性及曲线的凹凸性. 一、函数单调性的判别法 1.问题的提出 设函数 如果函数 负, 即 如果函数 在 在 上单调增加, 则曲线的图形是一条沿 轴正向 逐渐上升的曲线, 因而曲 线上各点处的切线斜率非 a b 同样, 由导数的定义及极限的保号性, 上单调减少,
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* * 第三章 微分中值定理与导数的应用 §3-4 函数的单调性和曲线的凹凸性 一、函数的单调性 单调性定义: 给定函数 f (x)在[a, b]上有定义 (1) x1 x2 ? f (x1) f (x2) 称 f (x)在[a, b]上单调增加的. (2) x1 x2 ? f (x1) f (x2) 称 f (x)在[a, b]上单调减少的. 下面我们利用导数来研究单调性. 定理1. 设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上可导, 则 (1) 若?x?(a, b)有f (x)0, 则 f (x)在[a, b]上单调增加. (2) 若?x?(a, b
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第四节 一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 二、曲线的凹凸与拐点 定理2.(凹凸判定法) 例3. 判断曲线 例4. 求曲线 例5. 求曲线 内容小结 思考与练习 2. 曲线 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 的单调区间. 解:
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经济数学;§4.3 函数的单调性和 曲线的凹凸性;;几何直观;定理（单调性的充分条件）;例如：函数 及 在 内单调减少，; 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．;求单调区间的步骤:;解:;;例2;;函数图象的凹凸分析：;问题:如何研究曲线的弯曲方向?;几何直观;;注意：点（0,0）是曲线
由凸变凹的分界点。;①、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。;例4 求曲线 的拐点及凹凸区间。;解：;下课啦;
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第九节 函数单调性与凸性的判别法一、单调性的判别法二、凸性及其判别法三、小结第1页，共56页。一、函数单调性的判别法1、单调性的判别法2、单调区间求法3、利用单调性可以证明不等式4、利用单调性可以证明根的唯一性第2页，共56页。1、单调性的判别法第3页，共56页。由导数定义及极限保号性可以证明:第4页，共56页。定理 (函数单调性的判定法)备注:第5页，共56页。证应用拉氏定理,得第6页，共56页。例1解注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．第7页，共56页。2、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不
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**§3-5函数的极值与最大值最小值yy=f(x)x0有f(x)f(x0)则称f(x0)为f(x)的一个极大值极值的概念是一个局部性的概念.(f(x)f(x0))定义1.设f(x)在U(x0)内有定义.若(极小值).(极小值点).点x0称为极大值点一、函数的极值及其求法第21页,共50页，2024年2月25日，星期天定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在x0取得极值,则f(x0)=0.使f(x)为零的点称为f(x)的驻点.第22页,共50页，2024年2月25日，星期天(1)可导函数的极值点必是驻点.但其逆命题不成立.(2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值.0yxy=
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第三章 微分中值定理 与导数应用 第三节 函数的单调性与 曲线的凹凸性 如何判断曲线的凹凸性？ 医用高等数学 第二节 洛必达法则 第四节 函数的极值与最值 第一节 微分中值定理 第三节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数图形的绘制 一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性 一、单调性的判别法 下面给出利用导数符号判断函数单调性的方法． 定理 证 应用拉氏定理,得 注 1.将定理中闭区间换成其他各种区间，定理仍成立； 3.定理允许个别点 2.本定理中的区间未必是函数的整个定义域，也就 是说，讨论单调性时，可能要将定义域进行分段； 例1 解 以 划分函数的定义域 将其划分为
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§3-4函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性 曲线的凹凸性 利用单调性证明f(x)g(x),x [a,b]的步骤： (1)构造函数F(x)=f(x)－g(x)； (2)由F’(x)的符号判断出F(x)的单调性； (3)求出F(x)在区间端点的函数值F(a)或F(b)， 再与F(x)加以比较，从而得证。 注意对F(x)在端点a或b处连续性的强调。 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.不等式的证明 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 (
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* 罗尔定理： P134T8 证明： P134T5 解： 证明等式 证: 设 (常数) 令 x = 0 , 得 故所证等式在定义域 上成立. P134 T6 推论: 若函数 是一个常数. 洛必达法则适用于： 回味： 洛必达法则 第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 1.拉格朗日定理： 复习： 称 为 I 上的 单调增函数 ; 称 为 I 上的 单调减函数 ; 2.增减函数的定义： 定理1： 证明： 由拉格朗日中值定理,得 证毕 1.利用导数的符号判断函数的单调性 一、函数单调性的判定法
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第九节 函数单调性与凸性的判别法 一、函数单调性的判别法 1、单调性的判别法 2、单调区间求法 3、利用单调性可以证明不等式 4、利用单调性可以证明根的唯一性 4、利用单调性可以证明根的唯一性 小结: 二、曲线的凸性及其判别法 1.曲线凹凸的定义 曲线凹凸的定义 2.曲线凹凸的判定 3、曲线的拐点及其求法 求拐点的步骤： 4、利用凸性证明不等式 4、利用凸性证明不等式 5、小结 例2 解 ? ? ? 拐点 拐点 例3 解 注意: Step1 求二阶导数等于零和不存在的点 Step2 判断二阶导数在这些点的左右两侧 是否异号 Step3 写出拐点
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《经济数学》第四章 * §4.3 函数的单调性和 曲线的凹凸性 4.3.1 函数的单调性（monotonicity of function） 现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时， 另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量 反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用 描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看 时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降”的， 好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们引入 了函数“单调性”的概念。 通过研究某些特定函数（事实上是那些基本初等函数） 的单调性，