定积分与微积分基本定理理科.doc

定积分与微积分基本定理科题组 邓利琼 1求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　) A．S＝(x2－x)dx　　　　 B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy [答案]　B [分析]　根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]　两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx. 2．如图，阴影部分面积等于(　　) A．2 B．2－ C. D. [答案]　C [解析]　图中阴影部分面积为 3． dx＝(　　) A．4π B．2π C．π D. [答案]　C [解析]　令y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S＝×π×22＝π. 4．已知函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的封闭区域的面积为，则k等于(　　) A．2　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．4 [答案]　C [解析]　由消去y得x2－kx＝0， 所以x＝0或x＝k， 则所求区域的面积为 (kx－x2)dx＝(kx2－x3)|＝. 即k3－k3＝，解得k＝3.故选C. 5．设f(x)＝，则f(x)dx等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．不存在 [答案]　C [解析]　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx 6． (　　) A．0 B. C．2 D．－2 [答案]　D [解析]　 7． (2－|1－x|)dx＝________. [答案]　3 [解析]　∵y＝， ∴(2－|1－x|)dx＝(1＋x)dx＋(3－x)dx ＝(x＋x2)|＋(3x－x2)|＝＋＝3. 8．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若成立，则a＝________. [答案]　－1或 [解析]　∵＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4， ∴a＝－1或. 9．已知则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是________． [答案]　－192 [解析]　由已知得＝(－cosx＋sinx) ＝(sin－cos)－(sin0－cos0)＝2， (2－)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C×25＝－192. 10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程． [解析]　设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设ab， 则直线AB的方程为y－a2＝(x－a)， 即y＝(a＋b)x－ab. 则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(x2－abx－)|＝(b－a)3， ∴(b－a)3＝， 解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)， 其中，将b－a＝2代入得， 消去a得y＝x2＋1. ∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1. 11．如图，D是边长为4的正方形区域，E是区域D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　阴影部分面积S＝2x2dx＝2×x3|＝，又正方形面积S′＝42＝16，∴所求概率P＝＝. 12．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝＝. 13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． [答案]　18 [解析]　由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、x＝4－y ∴S＝－4[(4－y)－]dy＝(4y－－)|＝18. 14．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________． [答案]　 [解析]　∵y′＝－2x＋4， ∴在点A(1,0)处切线斜率k1＝2，方程为y＝2(x－1)， 在点B(3,0)处切线斜率k2＝－2，方程为y＝－