导学案正弦定理和余弦定理.doc

正弦定理、余弦定理 考纲要求： 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 考情分析： 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． 2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学过程： 基础梳理 一、正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ? 变 形 形 式 ①a＝ ， b＝ ， c＝ ； ②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ； (其中R是△ABC外接圆半径) ③a∶b∶c＝ ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA. cosA ＝ ； cosB＝ ； cosC＝ . 解决的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 二、三角形常用面积公式S＝a·ha(ha表示边a上的高)； S＝absin C＝＝； S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径1．(教材习题改编)在ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝(　　) A．45°或135°　　　B．135°C．45° D．60° 2．在ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　) A．30° B．45°C．60° D．75° 4．(2011·北京高考)在ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝________. A为锐角 A为钝角或直角 图形 ? ? 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 典例分析 考点一：利用正弦、余弦定理解三角形 [例1]　(2011·辽宁高考)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. ．(2012·长沙模拟)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知A＝，a＝，b＝1，则c等于 (　　) A．1　　　　B．2C.－1 D. (1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个 定理更方便、简捷． (2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的； 已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 考点二：利用正余弦定理判断三角形的形状 [例2]　(2010·辽宁高考)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 变式3．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若＝，则ABC一定是 (　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 考点三：与三角形面积有关的问题 [例3]　(2011·山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求ABC的面积S. 1．利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化； 2．除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 S＝＝p·r(p是周长的一半，即p＝ ，r为内切圆半径)； S＝(R为外接圆半径)．(2011·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B(pR)，且ac＝b2.(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．(1)由题设并利用正弦定理，得 解得或 (2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B ＝p2b2－b2－b2cos B，即p2＝＋cos B， 因为0＜cos B＜1，得p2. 由