正弦定理与余弦定理一.ppt

2025/2/165.9正弦定理与余弦定理（一）山口中学蒋世信

2025/2/16回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？即正弦定理，定理对任意三角形均成立利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系？探索发现

如何构造向量及等式？2025/2/16jBjAC在锐角中，过A作单位向量j垂直于AC，j与CB的夹角为即定理推导j·AC+j·CB=j·ABj·AC+j·CB=j·AB)90cos()90cos(90cosAC-°-°°向量的数量积，为向量a与b的夹角．同理，过C作单位向量j垂直于CB，可得则有j与AC的夹角为j与AB的夹角为因为AC+CB=AB所以

在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？则有j与AB的夹角为，在钝角中，过A作单位向量j垂直于AC，jACBj与CB的夹角为.同样可证得：由AC+CB=AB

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.

定理运用2025/2/16例1在中，已知，求B与a,b.解：∵\\∵

例2在中，已知，求.解：由得∵在中∴A为锐角∴A＜B

∵解：例３中,,,a=2,求b与B,C.∵ca,∴CA∴或当时,当时,∴

（1）当A为锐角时（如下图）2025/2/16ABCbaa=bsinA一解ABB1CbaabsinAab两解ABCbaa≥b一解ABCbaabsinA无解

（2）当A为直角或钝角时（如下图），2025/2/16CAbaACbaB

（2）(2008北京)在中，若,，，则A等于()A．B．C．D．（1）在中，一定成立的等式是（）CC演练反馈一．选择题(3)中,a=2,,,则b等于()A.4B.2C.2或３D.2或４D

二.不解三角形，判断三角形的个数．2025/2/16(1)a＝5，b＝4，A＝120°(2)a＝30，b＝30，A＝50°(3)a＝7，b＝14，A＝30°(4)a＝9，b＝10，A＝60°(5)a＝6，b＝9，A＝45°(6)c＝50，b＝72，C＝135°１个１个１个２个０个０个

通过本节学习，我们研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量工具的作用.预习课本余弦定理课后作业课本习题5.92、3、4总结提炼明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题.即：①已知两边和其中一边所对的角；②两角一边.

2025/2/16感谢领导和同行们的观赏