7正弦定理和余弦定理.doc

[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用，如2012年天津T6，北京T11等． 2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2012年江苏T15等. [归纳·知识整合] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C ②sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆半径) ③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ cos B＝ cos C＝ 解决三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 [探究]　1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？ 提示：“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充要条件． 2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 [探究]　2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例) 提示：∵cos A与b2＋c2－a2同号， ∴当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形； 当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　) A．2　　　 B．12　　　 C．2　　　 D．28 解析：选A　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2. 2．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选D　∵＝，∴＝， ∴sin B＝×＝. 又∵a＞b，A＝60°， ∴B＜60°， ∴cos B＝＝. 3．△ABC中，a＝，b＝，sin B＝，则符合条件的三角形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 解析：选B　∵asin B＝，∴asin Bb＝a＝， ∴符合条件的三角形有2个． 4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为________． 解析：∵cos C＝，∴sin C＝， ∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4. 答案：4 5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，∵sin B≠0， ∴sin A＝，∴A＝30°或A＝150°. 答案：30°或150° 利用正、余弦定理解三角形 [例1]　(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [自主解答]　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理 ＝，得sin B＝cos B， 所以tan B＝，所以B＝. (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝，c＝2. ——————————————————— 正、余弦定理的选用原则 解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化． 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长． 解：(1)由正弦定理，设＝＝＝k， 则＝＝， 所以＝， 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(