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7正弦定理和余弦定理.doc

发布:2017-03-26约8.6千字共16页下载文档
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[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考   掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形边或角中的应用,如2012年天津T6,北京T11等. 2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中,如2012年江苏T15等. [归纳·知识整合] 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos_B c2=a2+b2-2abcos_C 变形形式 ①a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C ②sin A=,sin B=,sin C=(其中R是△ABC外接圆半径) ③a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C ④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A cos A= cos B= cos C= 解决三角形的问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 [探究] 1.在三角形ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的什么条件?“A>B”是“cos A<cos B”的什么条件? 提示:“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,“A>B”是“cos A<cos B”的充要条件. 2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 [探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状?(以角A为例) 提示:∵cos A与b2+c2-a2同号, ∴当b2+c2-a2>0时,角A为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角三角形; 当b2+c2-a2=0时,角A为直角,三角形为直角三角形; 当b2+c2-a2<0时,角A为钝角,三角形为钝角三角形. [自测·牛刀小试] 1.(教材习题改编)在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于(  ) A.2    B.12    C.2    D.28 解析:选A 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 即b2=4+16-8=12,所以b=2. 2.(教材习题改编)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于(  ) A.- B. C.- D. 解析:选D ∵=,∴=, ∴sin B=×=. 又∵a>b,A=60°, ∴B<60°, ∴cos B==. 3.△ABC中,a=,b=,sin B=,则符合条件的三角形有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 解析:选B ∵asin B=,∴asin Bb=a=, ∴符合条件的三角形有2个. 4.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为________. 解析:∵cos C=,∴sin C=, ∴S△ABC=absin C=×3×2×=4. 答案:4 5.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b=2asin B,则角A的大小为________. 解析:由正弦定理得sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0, ∴sin A=,∴A=30°或A=150°. 答案:30°或150° 利用正、余弦定理解三角形 [例1] (2012·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. [自主解答] (1)由bsin A=acos B及正弦定理 =,得sin B=cos B, 所以tan B=,所以B=. (2)由sin C=2sin A及=,得c=2a. 由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得9=a2+c2-ac. 所以a=,c=2. ——————————————————— 正、余弦定理的选用原则 解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.在解题时,还要根据所给的条件,利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化. 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=. (1)求的值; (2)若cos B=,△ABC的周长为5,求b的长. 解:(1)由正弦定理,设===k, 则==, 所以=, 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得sin(
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