平面向量的数量积和平面微量应用举例.ppt

知识点;一、两个向量的夹角;二、向量数量积;思考：投影是数量可以为零、负数、正数;三、向量数量积的性质（以下都是非零向量） ;四、数量积的运算律;3.|a|＝ . ;重要结论：;1.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 ，则|b|＝(　) A.　　　　　　　 B. C.5 D.25;2.已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是 (　　) ;3.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b， c⊥(a＋b)，则c＝ (　　);解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ② 解①②得 ;4.已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝ 　 .;5.已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝4，( a＋b)·(2a－3b) ＝12，则|b|＝　　　；b在a方向上的投影等于　　　.;? 1.当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及 |a|，|b|或得出它们的关系. 2.若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 ; 已知|a|＝1，a·b＝ ，(a－b)·(a＋b)＝ ， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值. ? ;(1)由(a－b)和(a＋b)的数量积可得出|a|、|b|的关系.(2)计算a－b和a＋b的模. ;【解】　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，∴|a|2－|b|2＝ ， 又∵|a|＝1，∴|b|＝ 设a与b的夹角为θ，则cosθ＝ 又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝;(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2 ∴|a＋b|＝ ，设a－b与a＋b的夹角为α， ;1.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2). (1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. ;解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2 可得 ∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4). (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， ∴2×5＋3a·b－2× ＝0，∴a·b＝— ， ∴cosθ＝ ＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. ;利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝ ; 已知向量a＝ ，b＝(cos ，－sin )，且 (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值. ? ;利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a＋b|时注意x的取值范围. ;【解】　(1)a·b＝ sin＝cos2x， |a＋b|＝ ＝2|cosx|， ∵x∈ ，∴cosx＞0， ∴|a＋b|＝2cosx.;∴当cosx＝ 时，f(x)取得最小值 当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1. ;2.(2009·湖北高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ， sinβ)，c＝