正弦定理余弦定理及其实际应用.doc

第7讲 正弦定理、余弦定理及其实际应用 随堂演练巩固 1.在ABC中,如果BC=6,AB=4,cos那么AC等于( ) A.6B.C.D. 答案:A 2.在ABC中若ABC的面积为则tanC为( ) A.B.1C.D. 答案:C 解析:由sin得BA=1, 由余弦定理得cosB, ∴ ∴△ABC为直角三角形,其中A为直角, tan. 3.已知ABC外接圆的半径为R,且2R(sinsinsinB,那么角C的大小为( ) A.30B.45C.60D.90 答案:B 解析:根据正弦定理,原式可化为 ∴. 结合余弦定理可知cosC=45. 4.若ABC中,acosA=bcosB,则ABC一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形 答案:C 解析:由acosA=bcosB,根据正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B. 2A=2B或2A+2B=,即A=B或. ABC是等腰三角形或直角三角形. 5.如图,某船在海上由西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东角,前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行.当与满足条件 答案:mcoscossin 解析:由题可知,在ABM中,根据正弦定理得解得要使船没有触礁危险,需要BMsin(所以与的关系满足mcoscossin时,船没有触礁危险. 课后作业夯基 1.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案:C 解析:因为a=2bcosC,所以由余弦定理得:整理得则此三角形一定是等腰三角形. 2.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得,则A、C两地的距离为( ) A.10 kmB. km C. kmD. km 答案:D 解析:利用余弦定理cos120 =700, km). 3.下列判断中正确的是( ) A.ABC中,a=7,b=14,A=30,有两解 B.ABC中,a=30,b=25,A=150,有一解 C.ABC中,a=6,b=9,A=45,有两解 D.ABC中,b=9,c=10,B=60,无解 答案:B 解析:A:a=bsinA,∴有一解; B:A90,ab,∴有一解; C:absinA,∴无解; D:cbcsinB,∴有两解. 4.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是( ) A.等腰直角三角形B.等腰三角形 C.直角三角形D.等边三角形 答案:B 解析:法一:由正、余弦定理得为ABC外接圆半径),整理得a=b. ∴△ABC一定是等腰三角形. 法二:sinC=sin[-(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB, ∴由已知得sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0. 又,),A-B=0,即A=B. ABC为等腰三角形. 5.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积则A等于( ) A.45B.30C.120D.15 答案:A 解析:由sinA, 得sincosA, A=45. 6.(2010湖南高考,文7)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120则( ) A.ab B.ab C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 答案:A 解析:在ABC中,由余弦定理得cos120= 将代入上式,得从而ab, .∴.∴ab. 7.(2010北京高考,文10)在ABC中,若C=则a= 答案:1 解析:在ABC中,由余弦定理知 coscos . ∴.解得a=1或a=-2(舍去), 故填1. 8.在ABC中则ABC的面积为 答案: 解析:由余弦定理知cos 则sin则. 9.在ABC中,三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,若则角C的大小为 答案: 解析:由题知,cos因为),所以. 10.在ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,. (1)若ABC的面积等于求a,b; (2)若sinB=2sinA,求ABC的面积. 解:(1)由余弦定理及已知条件,得ab=4, 又因为ABC的面积等于 所以sin得ab=4. 联立方程组 解得a=2,b=2. (2)由正弦定理,已知条件化为b=2a, 联立方程组 解得. 所以ABC的面积