正弦余弦定理的应用.doc

1) 在三角形ABC中，已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度数 思路：先证c＞a,c＞b,说明求角C即可 依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4 再由余弦定理得cosC=（a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2，即得角C=120度 原式 2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 (同时乘以2) 2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0 (移项) (a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0 (分组) (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0 因为一个数的平方为非负数 所以a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 c^2-a^2=0 即a-b=0 b-c=0 c-a=0 所以此三角形为等边三角形 因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理） 所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==3b^2+3c^2-2bc=3a^2 又因为（b^2+c^2-a^2）/2bc=cosA（余弦定理） 所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==3（b^2+c^2-a^2）/2bc=2bc/2bc=1==cosA=1/3 向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bc cosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==b^2+c^2=(2bc+9)/3 又因为b^2+c^2=2bc（基本不等式） 所以b^2+c^2=(2bc+9)/3=2bc。解得bc=9/4 综上，向量AB·向量AC=3/4 因此最大值为3/42a2+2c2-2b2=ac 求角B的大小 在三角形ABC中 解：cosB＝（a2+c2-b2）/2ac＝1/4.B≈75°31′21〃 答：等边 a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 2（a^4+b^4+c^4）=2（a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2） a^4+b^4-2a^2b^2+a^4+c^4-2a^2c^2+b^4+c^4-2b^2c^2=0 (a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2=0 a^2=b^2,a^2=c^2,b^2=c^2 a=b=c 解：它的值小于0，理由如下： a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 =(a^4-2a^2b^2+b^4)-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4-4b^2c^2 =(a^2-b^2)^2-2c^2*(a^2-b^2)+c^4-4b^2c^2 =(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2 =(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc) =[a^2-(b^2-2bc+c^2)][a^2-(b^2＋2bc＋c^2)] =[a^2-(b－c)^2][a^2-(b＋c)^2] =(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c) 可知：a+b-c0，a-b+c0，a+b+c0，a-b-c0， 所以原式的值是个负数，也就是小于0。 解：由余弦定理可以知道：c=a+b-2（根号a）（根号b）*cosC，所以c^2=(a+b)^2+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)（根号b)*cosC=a^2+b^2,所以2ab+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)（根号b）*cosC=0，现在把cosC当成一个未知数x来解方程，就可以解出： √a*√b+2√a√b*（cosC）^2-2（a+b）cosC=0的解为cosC始终是大于0的，所以c为锐角，同理，a和b都可以这样算。 所以这是锐角三角形 由于：1^2+1^2=(根号2）^2 所以，三角形是直角三角形。又有二边相等。所以是等腰直角三角形C lg SinA= -lg 根号2=lg1/根号2 sinA=1/根号2 A=45度 lg b+lg (1/c)= -lg 根号2 去掉对数就是b/c=1/根号2所以b=c/根号2 由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc 将b=c/根号2代入 cosA=cos45度=1/根号2 可得c=a 所以角C=45度 所以这是一个等腰直角三角形 1 求A+B的值 2 若a-b=根号下2-1，求a,b,c的值 1：（sinA）^2+(cosA)^2=1 锐角三角形，cosA0 cosA=2*五分之√五 同理，cosB=3*十分之√十 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 代入=√2/2 则A+B=45