10–2一阶微分方程.ppt

* * 10-2 一阶微分方程 复 习 1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 的微分方程. 3.齐次方程 解法： 作变量代换 10-2 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 1.定义： 或 特点： 自由项. 例如 称为一阶线性齐次方程. 称为一阶线性非齐次方程. 当 当 特点： 自由项. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 二、一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2.一阶线性非齐次方程的常数变易法： 齐次方程的通解为 . d ) ( ò = - x x P Ce y 的解. 设 是 积分得 将 代入原方程得 化简得 即 的解. 设 是 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 齐次通解 非齐次特解 即 非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解 ——线性微分方程解的结构，是很优良的性质. 常数变易法： 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数 的方法,叫常数变易法. 2.一阶线性非齐次方程的常数变易法： 例1 求解微分方程 解 这是一个一阶非齐次线性方程. 它对应的齐次方程为 分离变量得： 积分得： 即 再用常数变易法， 把 换成新函数 即令 则 代入原方程得 即 积分得： 于是： 则原方程的通解为 解 分离变量： 两边积分 得通解： 再用常数变易法求 的解， 设 是原方程的解, 则 将 代入原方程： 例2 求方程 的通解. 先求 的解， (用常数变易法) 另解:用公式 所以原方程的解为： 将 代入原方程： 常数变易法的求解步骤： 1.求出相应的齐次方程的通解 2.将上式中的常数 C 变为函数 u(x) 3.代入原方程 (非齐次方程) 求出 要求大家熟练掌握 则一阶线性微分方程的解法有： 公式法 常数变易法 4.得非齐次方程的通解： 注意： 常数变易法是解非齐次线性方程的基本方法， 要熟悉它的求解思想. 对于标准形式 直接用公式，可使运算简便. 这是一阶线性非齐次微分方程. 例3 解 直接用通解公式： 得所求线性非齐次方程的通解为 解 原方程可化为: 这是一阶线性非齐次微分方程，其解为: 例5 对于未知函数y,它不是线性方程,但是方程可改写为 解 所给方程是关于未知函数x一阶线性非齐次方程， 分析： 例6 求方程 的通解. 可变形为： 它不是线性方程. 设想： 把x当成函数， 把y当成自变量. 原方程可变为： 代入公式： 所以所求通解为： 解 例7 如图所示， 平行于 轴的动直线被曲线 与 截下的线段PQ 之长， 数值上等于阴影部分的面积， 求曲线方程. o x y 两边求导得 解 解此微分方程 依题意有 所求曲线为 得 由 四、伯努利(Bernoulli) 方程 1.定义： 形如 的方程. 考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程？ 是伯努利方程. 是伯努利方程. 是线性方程, 不是伯努利方程. 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 2.解法： 变形为 令 从而有 代入原方程得 这是关于 的一阶线性微分方程. 求出通解后将 代入即得 的通解.