2、一阶微分方程的解法.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的解法 第二节 第八章 一、可分离变量微分方程 二、齐次微风方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程* （了解） 一、可分离变量微分方程 定义：形如 第八章 或 的方程称为可分离变量方程。 特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。 分离变量方程的解法: 再两边积分, 得 ② 当G(y)与F(x) 可微且 G? (y) ? g(y) ? 0 时, 的隐函数 y＝? (x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解. 同样, 当 F? (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由②确定 先分离变量： 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式在分离变量时丢失的解 y = 0 ) 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 二、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 定义： 特点：右端能化为以 为内函数的复合函数。 例4. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 三、一阶线性微分方程 定义：形如 称为一阶线性微分方程。 特点：变量 及y 都是“一次”的。 上方程称为一阶线性齐次方程. 上方程称为一阶线性非齐次方程. 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法) 一阶线性微分方程的解法  例5、若连续函数f(x)满足关系式 讨论: 设y=f(x)是解, 则 积分 非齐方程通解形式 2. 线性非齐次方程 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 设解为 积分得 非齐方程通解 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。 解 例6、 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 例7、 所求曲线为 *四、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 伯努利 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 经过变量代换化为线性微分方程. 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 例8. 求方程 的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利的简介,并自动返回 * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利的简介,并自动返回 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利的简介,并自动返回 * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利的简介,并自动返回