一阶微分方程的初等解法.docx

一阶微分方程的初等解法 摘要： 本文主要通过一些实例介绍了一阶微分方程的几种初等解法关键词： 一阶微分方程 ;初等解法；变量分别；常数变易法 |精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载. First order differential equation of elementary solutions Abstract : This paper mainly introduced through some examples of the first order differential equation several elementary solutions Key Words ： first-order differential equation; Elementary proof; separation; method of variation of constant 前言 对于以前的一元二元方程我们都会解，到了高校我们开头接触积分并接触到 一些与积分有关的学问， 这里我们所要说的常微分方程的初等解法就是把微分方程的求解问题化为积分问题，其求解的表达式由初等函数或者超越函数表示 . 变量分别方程与变量变换 变量分别方程 dy f x g y dx 形如此此类的方程就是变量分别方程， 对如这样的方程就可以将方程变形为 dy f x d x g y 如此分别出变量，再两边同时积分即可得到 dy f x d x c g y 如此就可以解出此方程的解， 这也是常微分方程的最基本解法， 我们后面说的几种解法的最终目的也是化成能够用此种方法解出原方程的解， 很简洁这里我们就不在举例说明白； 可化为变量分别方程的类型 第一我们需要明白一下什么事齐次微分方程；形如 dy y g dx x 的方程我们叫做奇次微分方程；留意要区分于我们后面学的齐次线性微分方程 . 此类的方程我们可以设 |精. |品. |可. |编.  于是原方程就可以变为  x du dx u y x u g u |辑. |学. |习. |资. 变量分别就可以求出次方程的通解 . dy |料. * | * | 例１ 求解方程 x dx xy y * | * | |欢. |迎. |下. |载. 解 两边同时除以可以将方程改写为 dy 2 y y dx x x 这里我们就很熟识了，此种形式就是我们刚说的齐次微分方程，设可以依据刚才所说的方法求出原方程的解，就不在赘述了 . 接下来我们重点要说的是形如  u y 既 x dy a1x b1y c1 dx a2 x b2 y c2 的方程的解法； 明显这里有三种情形需要争论： 1 a1 b1 a2 b2 c 1 （常数） . c2 这是的方程就为 dy k dx 有通解 y kx c 为任意常数 . 2 a1 a2 b1 k b2 c1 情形. c2 这里设 u a2x b2 y ，就原方程可以变为 du a b dy a b ku c1 2 2 2 2 dx dx u c2 变量分别方程得到 du ku c dx a2 b2 1 u c2 |精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载. 两边积分就可以得到原方程的通解 . a1 b1 情形. a2 b2 这里我们设 x y 这里的 , 为两直线 的交点. 从而可以将原方程化为 a1x b1y c1 0 a2x b2y c2 0 dy a1 X b1Y dx a2 X b2Y 右式分子分母同时除以既是我们前面所说的齐次微分方程了，就不做过多说明白. 例 2 求解方程 dy x y 1 dx x y 3 解 这个方程明显就是刚才我们所说的第三种情形 a1 b1 a2 b2 联立方程组得到 x y 1 0 x y 3 0 解为： x 1, y 2 . 设 X 1 Y 2 |精. |品. |可. |编. |辑. |学. |习. |资. 带入原方程就可以得到 右式分子分母同时除以，令 u  dY X Y dX X Y Y ，就可以得到 X |料. * | * | * | * | |欢. |迎. |下. |载.  两边积分就可以得到 另外可以验证 dX 1 u du X 1 2u u 2 1Y 2 2 XY X 2 c 1 u2 2u 1 0 也是该方程的解 . 所以远方程的通解就为  y2 2 xy x2  6y 2x c ， 为任意常数 . 线性微分方程与常数变易法 线性微分方程形如  dy P x y Q x dx 的方程，其中 P x , Q x