《微积分基本定理》课件1.ppt

1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分． 1．利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点) 2．应用微积分基本定理解决综合问题．(难点) 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即 ，通常称 是f(x)的一个原函数． 将区间[a，b]无限细分，逼近，得 F(b)－F(a)＝ . ：被积函数f(x)的原函数唯一存在吗？它们之间有何关系？ 　被积函数f(x)的原函数F(x)的表达式不唯一，可以写成F(x)＋C的形式．其中C为常数，根据导数的运算法则可知：(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)． (2)该定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与求导数互为逆运算，这也是计算定积分的重要方法，是微积分学中最重要的定理． (3)求导数运算与求原函数运算互为逆运算．在微积分基本定理中函数F(x)叫作函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．因为[F(x)＋C]′＝F′(x)，所以F(x)＋C也是函数f(x)的原函数． (1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积． (2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数． 利用积分性质，求原函数，进行计算即可得出结论． 计算定积分的一般步骤： (1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值． 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限． 审题指导 用微积分基本定理求定积分，求被积函数的原函数是关键，需把握两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需注意弄清楚积分变量． 【题后反思】 求较复杂函数的定积分的方法． (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数．正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 根据定积分的定义及微积分基本定理，定积分可分解为多个区间上的定积分的和，所以求分段函数的定积分，根据被积函数定义，先在不同区间上求解，然后根据定积分的运算法则进行计算． 方法点评 求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；对于带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数再求解. 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 微积分基本定理 【课标要求】 【核心扫描】 自学导引 1．函数的原函数 2．微积分基本定理 F′(x)＝f(x) F(x) F(b)－F(a) 3．牛顿－莱布尼茨公式的几何意义 提示 名师点睛 1．微积分基本定理的理解 2．由微积分基本定理理解定积分的几何意义 题型一　求简单函数的定积分 [思路探索] 题型三　求较复杂函数的定积分 【例3】 (12分)求下列定积分： 方法技巧　被积函数为分段函数的定积分计算