2017年江苏专转本高等数学核心知识点无穷级数第四节 幂级数.ppt

例8 解 逐项求导, * 第四节 幂级数 一、幂级数及其收敛特性 定义： * 定义 在收敛域上,幂级数的和是x的函数S(x),称S(x)为函数项级数的和函数，记为 收敛域为 和函数为 * 证明 O 定理 (阿贝尔定理) * 由正项级数的比较判别法知, 证明 * 由(1)结论, 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 这与所设矛盾. * 此时正数 R 称为幂级数的收敛半径. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? * 定理 * 证明 * 证毕. * 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 例1 解 发散； 收敛。 * 一般， 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 例1 * 例2 解 例3 解 * 发散 收敛 故收敛域为 (0,1]. 例4 解 * 缺少偶次幂的项 级数收敛； 例5 解 直接应用达朗贝尔判别法， * 级数发散, 所以原级数的收敛域为 级数收敛； 级数发散； * 二、幂级数的和函数 且收敛半径仍为R. * 且收敛半径仍为R. (2) 逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生 如下变化： 逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛； 逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。 * 例6 逐项求导, 再逐项求导, * 例6 逐项积分, * 例6 换元， 逐项积分， * 例7 解 * 其中为幂级数系数. 形如的级数称为幂级数. 特别,取,则得, 如果对,数项级数收敛, 则称幂级数在处收敛， 并称点为幂级数的收敛点, (1) 如果级数在处收敛, 则它在满足不等式的一切x处绝对收敛; 幂级数的全体收敛点组成的集合D称为该幂级数的收敛域。 (2) 如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切x处发散. 显然， 。 简单地讲,就是 , 的收敛半径为, 所以 . . 假如有一点适合使级数收敛, 收敛域 . ； 则级数当时应收敛, 幂级数的收敛情况必为以下三种情形之一： 两边从0到x积分, (1) 幂级数只在处收敛: 求幂级数的和函数. （1）仅在处收敛； (2) 幂级数对一切x都收敛: 显然有 , , （2）在整个数轴上收敛； 当时, 如果幂级数的所有系数, 和函数记为, （3）,在处绝对收敛,在处发散,在处可能收敛也可能发散. 则幂级数的收敛半径为 易验证,在处连续. 设 (或 ) 当时, (1) 如果 当时,发散； 当时,绝对收敛； 故时,； 则对, 则对, 级数发散， 时, 级数为 , 时, 级数为, 收敛域为. 若, 收敛域为； 若, 收敛域为； 若, 收敛域为. , 即收敛域为. , 求级数的和. 仅在处收敛. 先求幂级数的和函数. 求级数的和. 先求幂级数的和函数. 求幂级数的收敛域. 一般,若的收敛半径为R , 则及的收敛半径为. 设幂级数的收敛半径为R, 收敛域为D,且和函数为.下面介绍的三个性质. 性质1 在的收敛域D内连续. 性质2 在的收敛域D内可积,且有逐项积分公式： 性质3 在内可导,且有逐项求导公式： 注: (1) 实际上,在内任意阶可导. , , 注意:在处,发散,但收敛, , 求幂级数的和函数. , 求幂级数的和函数. 的收敛半径为, 和函数记为, 求幂级数的和函数. 的收敛半径为, 和函数记为,