2017年江苏专转本高等数学核心知识点无穷级数第一节 级数的概念和性质课件.ppt

* 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具. 一、级数的基本概念 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 第一节 级数的概念和性质 * 1、级数的定义: — (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 级数的部分和 * 2、级数的收敛与发散: * 解 收敛 发散 例1 讨论等比级数(几何级数) 的收敛性. * 发散 发散 综上所述, * 公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…, 如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？ 齐诺悖论—阿基里斯与乌龟 * 如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破. * * 解 例2 讨论无穷级数 的收敛性. * 解 例3 所以级数发散. * 二、级数的重要性质 性质1 (级数收敛的必要条件) 证明 * 说明： 1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散； 级数发散； 级数发散。 * 2、必要条件不充分： 再举一个重要例子： 但级数发散。 调和级数 * 讨论 于是 矛盾， 调和级数 * 由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。 也收敛,且有 性质2 线性运算性质 * 注: 证 矛盾. * 性质3 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变. 证略。 注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散. 例如 例如， 则级数 且和不变. * 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响 性质4 它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变). 证略。 *