江苏省专转本高等数学第三节无穷小与无穷大知识点讲解课件.ppt

第三节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大之间的关系 四、小结 一、无穷小 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小. 如 ，则变量 当 时为无穷小； 如 ，则变量 当 时为无穷小. 类似地，还有其它几种情形下的无穷小. 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. (3)无穷小与自变量的变化趋势有关. 2、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 例1 自变量　在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？ (1) (2) (3) (4) 例2 求 二、无穷大 在自变量 的某个变化过程中，相应的函数值的绝对值 无限增大，则称 为该自变量变化过程中的无穷大； 如果相应的函数值 （或 ）无限增大，则称 该函数为自变量变化过程中的正（负）无穷大. 分别记作 等等. 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 例3 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大？ (1) (2) (3) (4)