高等数学课件无穷大与无穷小.PPT
文本预览下载声明
高等数学课件 第五节 无穷小和无穷大 (一) 无穷小 (二) 无穷大 (三) 二者关系 (四)无穷小的阶 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的阶及其比较 小结 思考:已知x→0时 作业 P58: 3. 偶 4. 偶 (5. 偶) 北京理工大学数学系 无穷是一个永恒的谜 ---Hilbert 定义1:在自变量的某种趋势下,以零为极限的函数(变量)称为无穷小量,简称无穷小. 例如: 注意 (1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (3)零是可以作为无穷小的唯一的数. (2)无穷小是变量的一种变化趋势; 例如, 证 2、无穷小与函数极限的关系: 意义 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数(有界量)与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 注意 无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. 特殊情形:正无穷大,负无穷大. 证 证 注意 (1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (3)无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大. 是无界变量, 但不是无穷大量 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论. 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 比较 定义: 例如, 例4 解 ???是不是任意两个无穷小 都可以进行阶的比较 不存在且不为无穷大 意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达式. 例如, 常用等价无穷小: 例5 解 1、主要内容: 定义;定理;推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. (1) 无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆, 零是唯一的无穷小的数; (2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小; (3) 无界变量未必是无穷大. 3、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 同阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 是等价无穷小,求A,n. * *
显示全部