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第四节 幂级数 三、幂级数的运算及性质 （二）幂级数性质 * 一、函数项级数的概念 称为定义在 U 上的（函数项）无穷级数， （1） 简称级数。 （2） 对于每一个确定的 （2）即为一常数项级数。 考虑区间 U 上的一个函数序列 代入（1）式得 （1） （2） 对于每一个确定的 代入（1）式得 若（2）收敛，则称 为函数项级数（1）的收敛点， 若（2）发散，则称 为函数项级数（1）的发散点， 所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为 散点的全体称为（1）的发散域，记为 所有发 常数项级数 都收敛， 其和记为 （1） 所有收敛点的全体称为（1）的收敛域，记为 散点的全体称为（1）的发散域，记为 所有发 常数项级数 都收敛， 其和记为 即 称 s (x) 为（1）的和函数， 和函数的定义域即为 I 。 两个基本问题： （1）如何确定（1）的收敛域？ （2）如何在收敛域上求（1）的和函数？ 二、幂级数及收敛性 （1） 当 （2） 在变量代换 的幂级数， 时，上述幂级数成为 下，（1）就化为（2）了 形如 的函数项级数称为 （2） 对于幂级数（2）， （1）如何确定它的收敛域 I ； （2）在收敛域内 ，如何求它的和函数 s (x)。 主要有两个问题: 考察幂级数 这是公比为 x 的几何级数， （1）当 | x | 1 时， 级数收敛， （2）当 | x | ? 1 时， 级数发散， （1） 所以（1）的收敛域为 （1）的发散域为 在收敛域内，（1）的和函数为 即 （1）的收敛域是一个以原点为中心的对称区间。 又例： 解：将该幂级数看成参数为 x 的任意项常数级 数，并用常数项级数收敛性判别法进行判别。 结论：当 | x | 1 时，级数收敛，当 | x | 1 时发散 当 x = – 1 时，级数收敛。 当 x = 1 时级数发散。 特点：除去端点 – 1 外，收敛域 I 是以原点为 中心的对称区间。 收敛域为 收敛域的上述特点对一般的幂级数 也成立的。 定理1（阿贝尔定理）：如果级数 时收敛， 时， 反之，如果级数 当 则当 幂级数绝对收敛 当 时发散， 时， 则当 幂级数发散。 定理1的几何解释： （1）幂级数 的收敛点都集中在以原点为中心的左右两侧。 （2） 推论：如果级数 使得（1）当 | x | R 时， 不是仅在 x = 0 一点收敛， 也不是在整个数轴上收敛， 则必有一个确定的正数 R 绝对收敛， （2）当 | x | R 时， 发散， （3）当 x = ? R 时， 可能收敛，也可能发散 称上述 R 为 收敛区间 的收敛半径， 为收敛区间 + 收敛的端点 规定： 仅在 x = 0 处收敛，则 （2）若 在整个数轴上收敛，则 = 收敛域 （1）若 问题：如何求 的收敛半径？ 定理2：考虑幂级数 如果 其中， 是级数相邻两项的系数，则 求幂级数 （1）利用极限 （2）判定幂级数在端点 确定收敛半径 R 处的收敛性， 收敛域的一般步骤： （3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。 及收敛区间 例1： 当 x = –1 时， 当 x = 1 时， 交错级数且收敛 ， 所以，所求收敛域为： 发散 解： 例2：求幂级数 的收敛域 解： 例3：求幂级数 的收敛域 解： t = –1 ， 交错级数且收敛， t = 1 ， 调和级数且发散 例4：求幂级数 的收敛域 解： 当 x = ? 2 时，原级数成为 发散， 故 × 理由：原级数中缺少偶数次幂的项： 所以 R = 2 ， 实际上 解：因原级数为缺项级数，定理 2 不能直接应用。 此时要用任意常数项级数的比值判别法来求 例4：求幂级数 的收敛域 当 即 当 即 时，级数收敛 时， 时，发散， 时， 解： 例4：求幂级数 的收敛域 当 即 当 即 时，级数收敛 时， 时，发散， 时， 当 发散 所以原级数的收敛域为 时，原级数成为 解： 例5：求幂级数 的收敛域 幂级数缺少奇次幂的项， 所以原级数的收敛域为 原级数成为 也可先作变量替换： 可按例 4 的方法处理 这是关于 t 的幂级数， 且没有缺项 可直接用定理 2 求收敛半径和收敛域： （一）幂级数的运算 收敛半径 收敛半径 （1）加法 （2）乘法 收敛半径 收敛半径 （3）除法 收敛半径 收敛半径 其中系数 可通过下面等式来确定 相除后的幂级数，其收敛区间可能比原级数小的多。 性质1：如果两个幂级数