高等数学 第四节 函数展开成幂级数 第五节 幂级数展开式的应用.ppt
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第四节 函数展开成幂级数 * 要熟记的基本幂级数： * * *
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第四节函数展开成幂级数1
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要熟记的根本幂级数：9
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第五节 函数的幂级数展开式的应用.ppt
机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 第五节 函数幂级数展开式的应用 第十二章 两类问题: 1.给定项数，求近似值并估计精度; 2.给出精度，确定项数. 关健: 通过估计余项，确定精度或项数. 一、近似计算 常用方法: 1.若余项是交错级数，则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数，则放大余和中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和. 例1 解 余和: 例2 解
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第五节 函数的幂级数展开式的应用.ppt
第五节 一、近似计算 例5. 二、计算定积分 例5. 三、欧拉(Euler)公式 欧拉 (1707 – 1783) * 一、近似计算 三、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 第十二章 二、计算定积分 定义1: 最后结果精确到(或保留到)小数点后 k 位. 说明: 定义2: 常用方法: 1. 若级数是交错级数，则 2. 若不是交错级数，则放大余项中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和. 两类问题: 1. 给定项数，求近似值并估计精度; 2. 给出精度，确定项数. 关健: 通过估计余项，确定精度或项数. 例1. 解: 故令 x = 1,有 此级数收敛速度太慢!
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高等数学 函数幂级数展开式的应用.ppt
第五节 一、近似计算 例2. 计算 说明: 在展开式 例3. 利用 例4. 计算积分 例5. 计算积分 二、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 欧拉 (1707 – 1783) * 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页
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第五节 函数的幂级数展开式.ppt
第五节 函数的幂级数展开式 作业：P356 * 问题: 2.如果能展开, 是什么? 3.展开式是否唯一? 1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数? 麦克劳林展开式 泰勒展开式 求幂级数, 在其收敛域内以 f (x) 为和函数—函数的幂级数展开。 定理 证略 定理 称为n阶余项. 基本展开式 注意到 所以 间接法求展开式: 利用已知展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式 . 例1 解 两边求导, 得 解 解 把函数展开成幂级数的步骤: 2. 求出展开式的收敛域; 1. 利用求导,积分,变量代
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第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算.PPT
无穷级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 一、近似计算 二、计算定积分 三、求数项级数的和 四、欧拉公式 五、小结 １、近似计算,求不可积类函数的定积分， * 上页 下页 返回 上页 下页 返回 二、计算定积分 三、求数项级数的和 四、欧拉公式 五、小结 思考题 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 例1 解 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 余和: 例2 解 其误差不
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高等数学（经济类）第5版课件：函数幂级数展开式的应用.pptx
本节通过实例，介绍幂级数展开式在近似计算中的应用。函数幂级数展开式的应用
例1.计算的近似值,精确到解:
例2.计算的近似值,使准确到解:已知故令得于是有
在上述展开式中取前四项,
说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),
例3.利用求误差.解:先把角度化为弧度(弧度)误差不超过的近似值,并估计
(取例4.计算积分的近似值,精确到解:
则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差
例5.计算积分的近似值,精确到解:由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:
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高等数学同济五版115函数幂级数展开式的应用.ppt
导数与微分 第五节 一、近似计算 例2. 计算 说明: 在展开式 例3. 利用 例4. 计算积分 例5. 计算积分 二、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 欧拉 (1707 – 1783) * 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页
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同济-高等数学-第三版(10.4) 第四节 函数展开为幂级数.ppt
将函数表示为幂级数是研究幂级数问题的 最终目的。函数表示成了幂级数数形式使得人 们可用另一种方式认识和理解函数的性质，这 对函数的研究具有重要意义。 由幂级数的讨论使得我们可以考虑选择幂级数作为 基础函数列去表示一般函数。将函数表示为幂级数形式 也叫作函数的幂级数展开。 由于对函数性质的讨论总是逐点进行的，因此通常 考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作 为基础函数列去表示一般函数。 于是函数幂级数展开式的一般 形式为 函数展开为幂级数应解决三个方面的问题： 函数 f( x )满足什么条件方可展开为幂级数； 如何确定函数幂级数展开式的系
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函数的幂级数展开式的应用.ppt
关于函数的幂级数展开式的应用1第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日
一、求极限有些未定式的极限可以将极限过程中的主要、例求解∴将sinx展开为x=0的幂级数.这种方法的优点是:次要成份表示得非常清楚.可以用幂级数方法求出.函数的幂级数展开式的应用2第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日
由此例可看出:这里,sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小这个高阶无穷小不能与分子的第一项x抵消,它在极限中是起作用的.但如果将sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了,这显然是错误的.函数的幂级数展开式的应用在求极限时,为什么加、减项的无穷小不能用其等价无穷小代换.3第3页
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第五节 函数展开成幂级数.ppt
无穷级数 第五节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、小结 * 上节例题 是否存在幂级数在其收敛域内以 f (x)为和函数? 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? ? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f (x)? 不一定. ? 可见 在x = 0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根
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第五节 函数展开成幂级数.ppt
无穷级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、欧拉公式 四、小结 * 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、欧拉公式 四、小结 第五节 函数的泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两
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第四节、函数展开成幂级数.ppt
第四节 一、泰勒级数 定理2. 二、函数展开成幂级数 例3. 将函数 内容小结 例9 解 因为 所以 例10 解 因为 所以 * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 引言 幂级数 1、有简单的收敛域； 2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质； 3、其形式便于上机计算。 问题：用 来研究函数f(x) 求幂级数的和函数得 存在幂级数在其收敛域内以f (x)为和函数. 问题: 2.展开式是否唯一? 3.在
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第四节-函数展开成幂级数.ppt
第四节一、泰勒(Taylor)级数待解决的问题:定理1.定理2.二、函数展开成幂级数例1.将函数例2.将例3.将函数例3附注2.间接展开法例5.将函数例6.将例8.将内容小结思考与练习备用题1.2.将*两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十三章其中(?在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?若函数的某邻域内具有
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第四节、函数展开成幂级数.ppt
第四节 一、泰勒级数 定理2. 二、函数展开成幂级数 例3. 将函数 内容小结 例9 解 因为 所以 例10 解 因为 所以 * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 引言 幂级数 1、有简单的收敛域； 2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质； 3、其形式便于上机计算。 问题：用 来研究函数f(x) 求幂级数的和函数得 存在幂级数在其收敛域内以f (x)为和函数. 问题: 2.展开式是否唯一? 3.在