高等数学同济五版115函数幂级数展开式的应用.ppt

导数与微分 第五节 一、近似计算 例2. 计算 说明: 在展开式 例3. 利用 例4. 计算积分 例5. 计算积分 二、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 欧拉 (1707 – 1783) * 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中,令 得 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 ( n为自然数) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 (弧度) 误差不超过 的近似值 , 并估计 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 取 的近似值, 精确到 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 n 应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值, 精确到 解: 由于 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 上连续, 且有幂级数展开式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 ① 收敛 , 且其和为 绝对收敛 收敛 . 若 收敛, 若 对复数项级数 ① 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 当 x = 0 时, 的幂级数展式一致. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （欧拉公式） （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 据此可得 (德莫弗公式) 利用幂级数的乘法, 不难验证 特别有 作业 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 分学原理 》, 《积分学原理》等, 为分析学的重 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. * *