初等函数的幂级数展开式.ppt

*第四节一、泰勒(Taylor)级数初等函数的幂级数展开二、函数展开成幂级数两类问题:*在收敛域内和函数求和展开一、泰勒(Taylor)级数其中(?在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,各阶导数,*定理1.则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2：若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.二、函数展开成幂级数*1.直接展开法由泰勒级数理论可知,①求函数及其各阶导数在x0=0处的值;②写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;③判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开例1.将函数*展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(?在0与x之间)故得级数类似可推出:例2.将展开成x的幂级数.称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.的二项展开式分别为*对应2.间接展开法*利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.例5.将函数*展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例6：例7.将*展成x－1的幂级数.解:*