第十一章第四节函数展开成幂级数.pdf

第四节 第十一章 函数展开成幂级数 两类问题: 在收敛域内 求和 和函数 展开 本节内容: 一、泰勒( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、泰勒( Taylor ) 级数 复习: f (x) 的n 阶泰勒公式 若函数 的某邻域内具有n + 1 阶导数, 则在 该邻域内有: f (x ) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )  f (x0 ) (x x0 )2 2 ! f (n) (x0 ) n   (x x0 ) Rn (x ) n ! f (n1) ( ) n1 其中 Rn (x ) (x x0 ) (  在x 与x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项. 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称  f (x0 ) 2 f (x0 )  f (x0 )(x x0 )  (x x0 ) 2 ! f (n) (x0 ) n   (x x0 )   n ! 为f (x) 的泰勒级数. 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数. 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上, 和函数是否为f (x) ? 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理1 . 设函数f (x) 在点x0 的某一邻域 内具有 各阶导数, 则f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn (x ) 0 . n  f (n) (x0 ) n 证明: f (x )  (x x0