第四节 任意项级数,绝对收敛敛2010-4-6.doc

注意：下次上课千万别缺课，内容重要。预习幂级数 注意：通项极限不是零级数发散。即发 散.不能推出收敛。例发散，但 . §7.4 任意项级数，绝对收敛 教学目的：弄清交错级数的概念，掌握莱布尼茨判别法；掌握任意 项级数的绝对收敛与条件收敛概念，能灵活正确运用各 种判别法判断所给级数的敛散性. 重点：掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，并能灵活正确 判断所给级数的敛散性. 难点：灵活正确判断所给级数的敛散性. 教学方法：讲练结合 教学过程： 本节将讨论不限制项的正负的级数------任意项级数. 一、交错级数及其敛散性 1.【定义】形如 ＝ 或＝的级数称为交错级 数.其中 , （）. 2.【定理7.10】(莱布尼茨定理): 设为交错级数, 若 满足(1) ,（）； (2) , 则 收敛, 且级数和,其余项的绝对值 . 证明: (1) 记为级数的部分和. 考察级数. 由于 有 可见单调上升且,由极限存在准则知 ∴ . (2) 即不论是奇数还是偶数,当时,总有, 故 收敛. (3) 注意到级数也满足本定理的两个条件, ∴ 例1 (1)证明级数是收敛的,并估计误差. 证明 令 由于且,, 故 原级数收敛. （ 由莱布尼茨定理知 ） 且其和 ,其误差为. （2）判断级数的敛散性., , 由于,由莱不尼兹定理知原级数发散. 练习：判断下列级数的敛散性 （1） （收敛，可以证明时， ） （2）（收敛） （3）（收敛） 二、绝对收敛与条件收敛 1.【定理7.11】对于任意项级数, 若收敛 ，则 收敛. （ 反之不然.） 证明 因 ,又因为 收敛， 所以由正项级数的比较判别法知 收敛. 由,且、均收敛收敛. 反之不然. 例如收敛, 但 发散. 2.【定义】收敛；则 级数收敛且绝对收敛. (2)级数收敛，但发散, 则收敛且条件收敛. 例如: 而级数条件收敛; 级数绝对收敛, 级数绝对收敛.满 足条件 或 ,则 (1) 若,级数 收敛，且绝对收敛. (2) 若,级数发散. 证明 时，正项级数收敛收敛.当时, 时，发散. 例2 判断下列级数的敛散性： （1）；； （3）；； 故 原级数收敛且绝对收敛. （2）因为 所以对，原级数收敛且绝对收敛. 由上两题得重要结论：. （3），时，原级数收敛且绝对收敛；当时，原级数发散. 当时，级数成为调和级数，它是发散的；当时，级数成为，它是条件收敛的级数.，时，原级数收敛且绝对收敛；当时，原级数发散. 其中 时，级数通项的极限不为零. 解 因为且级数收敛, 由正项级数的比较判别法知级数收敛, 故 原级数收敛且绝对收敛. （2） 解 ，, 所以 收敛，故原级数绝对收敛. 另解: ,收敛敛散性.,级数收敛原级数收敛且绝对收敛. （2）：原级数绝 对收敛. （3）：原级数绝对收 敛. (4) ：， 且为收敛的P－级数，所以原级数收敛且绝对收敛. （5）： 发散，所以发散.又令， ， 即在 上 单调递减， 即时级数满足,（）， 故原级数条件收敛.（） 例4 (88.3) 设级数 与 均收敛, 求证（1）绝对收敛. （2）收敛. （3）收敛. 证 （1） 因为,且均收敛, 所以 收敛, 由正项级数的比较判别法知收敛 故 收敛且绝对收敛. （2）因为级数 与 均收敛,又由（1）知收敛， 又由 得 收敛. （3）由于 ， 级数 与 均收敛 收敛. 再由正项级数的比较法得 级数 收敛 . 提问: （1）下列级数条件收敛的有( ). (a) (b) (c) (d) 分析 发散. 绝对收敛.答案 （a） . （2）下列级数绝对收敛的有( ). (a) (b) (c) (d) 答案（ c,d　）. （3）下列级数发散的有( ) (a) (b) (c) (d) 答 由莱不尼兹定理可知收敛不选(a), 由知发散选(b), 由收敛知绝对收敛不选(c), 由知收敛不选(d). （4）(94.3) 设常数,而级数收敛,则级数 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 答　(C).因为, 由题设知收敛,又收敛, 则原级数收敛且绝对收敛. (5) 级数收敛，则级数 （ B ） 条件收敛.(B)绝对收敛.(C)发散.(D) 敛散性不定. 解 收敛， 收敛，所以收敛，且绝对收敛. （6）(06.4) 若级数收敛,则级数( ) (A)收敛 (B)收敛 (C)收敛