6-1数列的概念与简单表示法.doc

第1讲　数列的概念与简单表示法 知 识 梳 理 1．数列的通项公式 (1)定义：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式，记为an＝f(n)(nN*)．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示． (2)数列的递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1＞an 其中 nN＋ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 3.数列前n项和Sn与通项an的基本关系 已知Sn，则an＝ 辨 析 感 悟 1．对数列概念的认识 (1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．( ) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( ) 2．对数列的性质及表示法的理解 (3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是an＝.( ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (5)(2013·开封模拟改编)已知Sn＝3n＋1，则an＝2·3n－1.( ) [感悟·提升] 1．一个区别　“数列”与“数集” 数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)． 2．三个防范　一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)． 二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an＝ 三是已知Sn求an时，一定要验证n＝1的特殊情形，如(5)． 考点一　由数列的前几项求数列的通项 【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5,55,555,5 555，…. 规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)，，－，，－，，…； (2)，1，，，…. 考点二　由an与Sn的关系求通项an 【例2】 (2012·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，nN*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式． 规律方法 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 【训练2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________. 考点三　由递推公式求数列的通项公式 【例3】 在数列{an}中， (1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________； (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________. 规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 【训练3】 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________. 1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法． 2．由Sn求an时，an＝注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式． 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；