微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第九章.pdf
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第99章
习题9- 1
习题9- 1
习习题题99-- 11
1. 判定下列级数的收敛性:
n
∞ 1 ∞
⎛ ⎞
(1) 5 ⋅ (a>0); (2) ( n+1 − n) ;
∑ ⎜ ⎟ ∑
a
n=1 ⎝ ⎠ n=1
∞ 1 ∞ 2 +(−1)n
(3) ∑ ; (4) ∑ n ;
n=1 n+3 n=1 2
∞ ∞
n
(5) ; (6) n ;
∑ln ∑(−1) 2
n=1 n+1 n=1
∞ n+1 ∞ (−1)n ⋅n
(7) ∑ ; (8) ∑ .
n=1 n n=0 2n+1
1 1 1
解:(1)该级数为等比级数,公比为 ,且a 0 ,故当| |1 ,即a1 时,级数收敛,当| |≥1
a a a
即0 a≤1时,级数发散.
(2) S = ( 2 − 1) +( 3 − 2) +⋯+( n+1 − n)
∵
n
= n+1 −1
lim S = ∞
n
n→∞
∞
∴ ∑( n+1 − n) 发散.
n=1
∞ 1 ∞ 1 ∞ 1
(3)∑ 是调和级数∑ 去掉前3 项得到的级数,而调和级数∑ 发散,故原
n=1 n+3 n=1 n n=1 n
∞ 1
级数∑ 发散.
n=1 n+3
∞ 2 +(−1)n ∞ ⎛ 1 (−1)n ⎞
(4)∵∑ n = ∑⎜ n−1 + n ⎟
n=1 2 n=1 ⎝ 2 2 ⎠
∞ 1 ∞ (−1)m 1
而∑ n−1 , ∑ n 是公比分别为 的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质
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