2019版高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 题组训练57 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第3课时 理.doc

题组训练57 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第3课时 1．(2018·皖南八校联考)四棱锥V－ABCD中底面ABCD是边长为2的正方形其他四个侧面是腰长为3的等腰V－AB－C的余弦值的大小为(　　)　　　　　　　　　 C. D. 答案　解析　如图所示取AB中点E过V作底面的垂线垂足为O连接OE根据题意可知是二面角V－AB－C的平面角．因为OE＝1＝＝2所以＝＝＝故选如图三棱锥S－ABC中棱SA两两垂直且SA＝SB＝SC则二面角A－BC－S的正切值为(　　) C. D．2 答案　解析　三棱锥S－ABC中棱SA两两垂直且SA＝SB＝SC平面SBC且AB＝AC＝如图取BC的中点D连接SD则SD⊥BC则∠ADS是二面角A－BC－S的平面角设SA＝SB＝SC＝1则SD＝在中＝＝＝故选另解：以S为坐标原点，，的方向分别为x轴的正方向建立空间直角坐标系设SA＝1则S(0)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，＝(0)，＝(1－1)＝(0－1)易知＝(0)为平面SBC的一个法向量设n＝(x)为平面ABC的法向量则令z＝1则n＝(1)为平面ABC的一个法向量所以〈〉＝故二面角A－BC－S的正切值为(2018·福州质量检测)三棱锥A－BCD中为等边三角AB＝2＝90二面角A－BC－D的大小为150则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为(　　)π C．16π D．28π 答案　解析　本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积．设球心为F过点A作AO⊥平面BCD垂足为O取BC的中点E连接AE则∠AEO＝30＝3＝＝＝外接球球心F在过E且平行于AO的直线上设FE＝x外接球半径为R则R＝3＋x＝()＋(－x)解得x＝2＝7则外接球的表面积为4＝28故选(2018·浙江温州中学模拟)如图四ABCD，AB＝BD＝DA＝2＝CD＝现将△ABD沿BD折起当二面角A－BD－C处于[]的过程中直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是(　　)[－] B．[] C．[0，] D．[0] 答案　解析　如图所示取BD中点E连接AECE，∴∠AEC即为二面角A－BD－C的平面角．而AC＝AE＋CE－2AE·CE·＝4－2又∠AEC∈[]， ∴AC∈[1，]，∴·＝2〈〉＝(－)＝－2＋AB·BC·＝1－[－]， 设异面直线AB所成的角为θ·＝故选如图平面α与平面β相交成锐角θ平面α内的一个圆在平面β上的射影是离心率为的椭圆则θ＝________　解析　如图经过平面α内圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的两条直径则这两条直径在平面β上的射影是椭圆的长轴和短轴则短轴的延长线和垂直于棱的直径所在直线的夹角为二面角的平面角记为θ.因为e＝＝所以＝故＝＝解得θ＝(2018·甘肃天水一模)已知在四棱锥P－ABCD中底面ABCD是矩形且AD＝2＝AB＝1平面ABCD是BC边上的动点记二面角P－ED－A的大小为θ则的取值范围为________答案　[] 解析　由A点作AO⊥ED于O连接PO则∠POA为二面角的平面角．＝＝又OA∈[]，∴tan∠POA∈[，]．(2018·沧州七校联考)三棱锥A－BCD的三视图如图所示： 则二面角B－AD－C的正弦值为________答案　解析　如图把三棱锥A－BCD放到长方体中长方体的长、宽、高分别为5为直角三角形直角边分别为5和3三棱锥A－BCD的高为4建立如图空间直角坐标系则B(0)，A(3，0，4)，C(3，5，0)，D(0，5，0)， ∴＝(3－5)，＝(0－5)，＝(3)．设n＝(x)是平面ABD的一个法向量n1⊥，n1⊥. ∴∴ 可取n＝(4－3)．设n＝(x)是平面ADC的一个法向量，n2⊥， ∴∴ 可取n＝(0)．〈n〉＝. ∴sin〈n〉＝＝即二面角B－AD－C的正弦值为(2018·洛阳第一次统考)如图四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形＝DAB＝90二面角F－AB－D是直二面角＝AB＝BC＝2＝1.(1)证明：在平面BCE上一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角F－CD－A的余弦值．答案　(1)略　(2)解析　(1)由已知得平面AFD平面AFD平面AFD.同理可得平面AFD.又BE∩BC＝B平面BCE∥平面AFD.设平面DFC∩平面BCE＝l则l过点C.平面BCE∥平面ADF平面DFC∩平面BCE＝l平面DFC∩平面AFD＝DF即在平面BCE上一定存在过点C的直线l使得DF∥l.(2)∵平面ABEF⊥平面ABCD平面ABEF平面ABCD∩平面ABEF＝AB又∠FAB＝90平面ABCD平面ABCD＝90以A为坐标原点所在直线x轴轴轴建立空间直角坐标系如图．由已知得(1，0，0)，C(2，2，0)，F(0，0，2)，∴＝(－1)，＝(1)．设平面DFC的法向量为n＝(x)， 则