2019版高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 题组训练56 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第2课时 理.doc

题组训练57 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第2课时 1．在正方体ABCD－A中是AB的中点则〈〉的值等于(　　)　　　　　　　　　 C. D. 答案　解析　分别以DA为x轴建系令AD＝1 ∴＝(1)，＝(1，－)．〈〉＝＝〈〉＝已知直四棱柱ABCD－A1C1D1中底面ABCD为正方形＝2AB为AA的中点则异面直线BE与CD所成角的余弦值为(　　) B. C. D. 答案　解析　如图以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标设AA＝2AB＝2则B(1)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)．＝(0－1)，＝(0－1)．〈〉＝＝若直线l120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)答案　解析　设直线l与平面α所成的角为θ则＝＝又0＝30(2018·天津模拟)已知长方体ABCD－A中＝BC＝4＝2则直线BC与平面DBB所成角的正弦值为(　　) B. C. D. 答案　解析　由题意连接A交B1于点O连接BO.∵在长方体ABCD－A中＝BC＝4易得C平面DBB即为直线BC与平面DBB所成的角．在中＝2＝2直线BC与平面DBB所成角的正弦值为故选(2018·辽宁沈阳和平区模拟)如图在正四棱柱ABCD－A中＝2＝4则直线BB与平面ACD所成角的正弦值为(　　) B. C. D. 答案　解析　如图所示建立空间直角坐标系．则A(2)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，＝(－2)，＝(－2)，＝(0)．设平面ACD的法向量为n＝(xz)，则即取x＝2则y＝2＝1故n＝(2)是平面ACD的一个法向量．设直线BB与平面ACDsinθ＝|〈n〉|＝＝＝故选若正三棱柱ABC－A的所有棱长都相等是A的中点则直线AD与平面B所成角的正弦值为(　　) B. C. D. 答案　解析　间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等依据题设条件可知B平面ACD故△B为直角三角形．设1，则有AD＝＝＝＝×＝设A到平面B的距离为h则有－B＝V－ADC×h×S△B1DC＝1D×S△ADC. ∴×h×＝××，∴h＝. 设直线AD与平面B所成的角为θ则＝＝向量法： 如图取AC的中点为坐标原点建立空间直角坐标系．设各棱长为2则有A(0－1)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)．设n＝(x)为平面B的法向量则有?n＝(0)．〈n〉＝＝(2018·山东师大附中模拟理)如图在四棱锥P－ABCD中平面ABCD＝CD＝＝＝点Q在PB上且满足PQ∶QB＝1∶3则直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为________答案　解析　方法一：如图过点Q作QH∥CB交PC于点H.在中＝＝平面ABCD在中＝＝取AB的中点M连接CM＝AD＝在中＝＝又PB＝PA＋AB＝16＋CB＝PB② 由①②可得平面PAC是直线CQ与平面PAC所成的角．＝＝＝＝＝＝＝＝方法二：以A为坐标原点所在的直线分别为x轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0)，P(0，0，)，C(，，0)，B(0，，0)， ∵PQ＝(0，，)，可知平面PAC的一个法m＝(－1)，又＝(－－)， ∴|cos〈m〉|＝＝故直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为(2018·上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体已知AE⊥底面BCFE＝AE＝1＝四边形ABCD是正方形．(1)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑判断四面体EABC是否为鳖臑若是写出(2)记AB与平面AEC所成的角为θ求的值．答案　(1)略　(2)解析　(1)∵AE⊥底面BCFE都在底面BCFE上四边形ABCD是正方形平面ABE.又∵BE平面ABE四面体EABC是鳖为直角．(2)∵AE＝1＝＝2又ABCD为正方形．＝2＝作BO⊥EC于O则BO⊥平面AEC连接OA则OA为AB在面AEC上的射影．∴θ＝∠BAO由等面积法得BE·BC＝EC·OB.＝＝＝＝1－2＝提示　本题也可用向量法求解．(2016·课标全国Ⅲ理)如图四棱锥P－ABCD中底面ABCD＝AD＝AC＝3＝BC＝4为线段AD上一点＝2MD为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．答案　(1)略　(2)解析　(1)由已知得AM＝＝2.取BP的中点T连接AT由N为PC的中点知TN∥BC＝＝2.又AD∥BC故TN綊AM所以四边形AMNT为平行四边形于是MN∥AT.因为AT平面PAB平面PAB所以MN∥平面PAB.(2)取BC的中点E连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC从而AE⊥AD且AE＝＝＝以A为坐标原点的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.由题意知(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N(，1，2)，＝(0－4)＝(－2)＝()． 设n＝(