一元微积分第3次习题课答案.pdf

作者：闫浩 2011 年9 月 微积分B(1)第三次习题课题目参考答案 （第五周） 一、无穷大量 a +a ++a 1. 已知lim a +=∞，求证：lim 1 2 n +=∞ n n→∞ n→∞ n 证明：由于lim a +=∞，∀G 0, ∃N ∈，使得n N 时，a 4G ，此时 n 1 1 n n→∞ a +a ++a a +a ++a ++a a +a ++a 4(n −N ) 1 2 n 1 2 N1 n 1 2 N1 1 = + G 。 n n n n a +a ++a n −N 由于lim 1 2 N1 0,lim 1 1 ，因此∃N 2 ∈，使得n N2 时，有 n→∞ n n→∞ n a +a ++a n −N 1 1 2 N 1 −G 且 1 。取N max{N , N } ，当n N 时，有 1 2 n n 2 a +a ++a a +a ++a (n −N ) 1 1 2 n 1 2 N1 1 + 4G −G + 4G G 。 n n n 2 2. 证明：数列{a }没有收敛子列等价于lim an =∞。 n n→∞  ∃M ∀k ∈ a ≤M 证明： 假设{a }有收敛子列，记为 a ，因此 a 有界，即 0 . ⇐) { } { } n n nk nk