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例8 设 解 令 由 确定, 求 所以: 解 由复合函数的导数公式 例9 设 求 令 上式两端对 求导, 得 上式中的第二式乘 再两式相加, 得 同理得 所以 再由 上式两端对 求导, 得 上式中的第二式乘 再两式相减, 得 及 所以 例10 设方程组 求在点 处 对 的导数: 解 方程对 求导, 得 代入点的坐标得 由此得 例11 设方程 确定 是 的函 数, 验证: 证 令 则: 所以: 从而有: 例12 设 解 设 则 变换方程 由 得 解 由余弦定理 a b c A B C ? 例13 设 是三角形三条边的长, 是三边对 应的三个角的度量, 求 即 同理 其中, . 例14 设 问: 在点 ⑴是否连续？⑵是否可导？⑶是 解 ⑴显然 所以, 在 否可微？⑷偏导是否连续？ 连续. ⑵ 又因 同理 ⑶因 所以: 若 可微, 则 可微分. 所以: ⑷因 显然 不存在, 所以偏导不连续. 处的外法向量, 求 例15 设 是曲面 解 令 因 取外法线方向, 故 导数. 则: 在点 在点 处沿 的方向 所以: 又: 从而 处沿哪个方向的方向导数最大？并求此最大值. 例16 函数 解 因为梯度方向即为最大方向导数方向. 在点 为最大方向导数方向. 最大方向导数为 例17 设 是椭圆上离 最近的一点, 证明 证 设动点 为曲线上的点, 则两点间的距离为 则问题转变为函数 是椭圆 外的一点, 若 是椭圆 的法线. 在点 因此在点 处, 有 即 处取到极值. 为此作函数 从而直线 的斜率为 此斜率恰为曲线在该点法线方向的斜率. 例18 求曲面 且与直线 解 设切点为: 的切平面, 使之过 平行. 则切平面的法向为: 相应的切平面方程为 平面过 即有: ⑴ 又点在曲面上, 即有: 由已知条件: 切平面与已知直线平行, 即有: 即: 得: ⑵ 将⑵代入⑴, 得 再由⑵得 所以切点坐标 为: * 习 题 课 一、极限与连续 本章要点 2.证明极限不存在: 3.连续: 连续函数的定义及连续函数类. 4.有界闭区域上连续函数的性质 1.求极限 同的极限, 则函数在该点的极限不存在. 用两种不同的趋近方式得到两个不 二、偏导与微分 2.任意点的偏导、高阶偏导 对函数 求 1.偏导的定义 3.复合函数的偏导及高阶偏导 ⑴全导数 设函数 ⑵复合求导 设函数 为可微函数, 则 为可微函数, 则 4.方向导数与梯度 二元函数的方向导数 三元函数的方向导数 其中 梯度 注: 梯度方向为方向导数取最大值的方向. 量. 为与 同向的单位向 ⑵可微的条件: 有连续偏导, 则 可微, 并且 6.微分 ⑶关系 ⑴微分的定义 偏导连续 可微 连续 可导 三、应用 2.几何应用: 1.近似计算 几何应用 曲线 曲面 切线 法平面 切平面 法线 曲线: 参数方程情况 切线: 法平面: 一般方程 切线: 法平面: ? 一般方程 在该点的切线可以看作为两曲面在该点切平面的交线: 点 则曲线 曲面 相应的切平面: 法线: 曲面方程: 点 在曲面上 3.极值问题 必要性: 可导的极值点是驻点; 充分性: ⑴一般极值 则 极小值; 极大值; 非极值. 不定; ⑵条件极值 方法: 1.构造Lagrange函数 2.解方程组 问题: 单条件极值 求函数 下的条件极值. 在条件 方法：1.构造L