微积分x0与8习题课 .ppt

习题课 一、一阶微分方程求解 例1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 例2. 求下列方程的通解: 例3. 二、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 特征根: 例. 求微分方程 例. 例. 例 例. 三、微分方程的应用 例. 已知某车间的容积为 例. 例. 例. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 例 例 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 得微分方程 ( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t = 30 时 解定解问题 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 初始条件 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 为 k), 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 此时链条受力 由牛顿第二定律, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件得 故定解问题的解为 解得 当 x = 20 m 时, (s) 微分方程通解: 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不考虑摩擦力时的数学模型为 此时链条滑下来 所需时间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法及应用 第八章 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 凑微分法 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变方程为 两边乘因子 用凑微分法得通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束