反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量.ppt

8.2.3 反幂法 8.3 豪斯霍尔德方法 8.3.3 用正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵 8.4 QR 方 法 反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量， 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量. 设 为非奇异矩阵， 的特征值次序记为 相应的特征向量为 ，则 的特征值为 对应的特征向量为 . 因此计算 的按模最小的特征值 的问题就是计算 的按模最大的特征值的问题. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于 应用幂法迭代（称为反幂法），可求得矩阵 的主特征值 ，从而求得 的按模最小的特征值 . 反幂法迭代公式为： 任取初始向量 , 构造向量序列 迭代向量 可以通过解方程组 求得. 定理15 设 为非奇异矩阵且有 个线性无关的特征 向量，其对应的特征值满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则对任何初始非零向量 ，由反幂法构造的向量 序列 满足 收敛速度的比值为 . 反幂法中也可以用原点平移法来加速迭代过程或求其 他特征值及特征向量. 如果矩阵 存在，其特征值为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对应的特征向量仍然是 . 对矩阵 应用幂法，得到反幂法的迭代公式 （2.12） 如果 是 的特征值 的一个近似值，且设 与其 他特征值是分离的，即 就是说 是 的主特征值，可用反幂法计算 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 特征值及特征向量. 设 有 个线性无关的特征向量 ， 则 其中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 同理可得： 定理16 设 有 个线性无关的特征向量， 的特征值及对应的特征向量分别记为 及 , 而 为 的近似值， 存在，且 则对任意的非零初始向量 ，由反幂法迭代公式 （2.12）构造的向量序列 满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 且收敛速度由比值 确定. 由该定理知，对 (其中 ) 应用反幂法， 可用来计算特征向量 . 只要选择的 是 的一个较好的近似且特征值分离情 况较好，一般 很小，常常只要迭代一二次就可完成特征 向量的计算. 反幂法迭代公式中的 是通过解方程组 求得的. 为了节省工作量，可以先将 进行三角分解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspo