工程计算7矩阵特征值与特征向量.ppt

* * 7.2 Jacobi方法 所以 再取i=2，j=3，aij(1)=a23(1)=2.020190，类似地可得 * * 7.2 Jacobi方法 以下依次有 * * 7.2 Jacobi方法 从而A的特征值可取为 ?1?2.125825， ?2?8.388761， ?3?4.485401 特征向量为 R1TR2T…RkT * * 7.3 QR方法 QR方法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法之一，在实际应用中，经常把一般的矩阵经过正交相似变换化成上Hessenberg矩阵，再应用QR方法求其特征值和特征向量. 6.3.1 基本QR方法 设A是n?n非奇异实矩阵。令 A1=A，对 A1作QR分解，得 A1= Q1R1 令 A2= R1Q1 又对A2作QR分解，得 A3= R2Q2 * * 7.3 QR方法 反复进行这种运算，就得到一个矩阵序列{Ak}， 由于 Rk= QTkAk 因而Ak+1与Ak(k=1，2，…)相似。所有Ak都与A 相似，它们都有共同的特征值。 在一定的条件下，序列{Ak}收敛于上三角（或分块上三角）矩阵，其主对角线元素(或子块)有确定的极限。如果收敛于上三角矩阵，则这个上三角矩阵的主对角线元素就是矩阵A的特征值；如果收敛于分块上三角矩阵，则主对角线上各个子块的特征值就是矩阵A的特征值 故有 Ak+1= QTkAk Qk， k = 1，2，… * * 7.3 QR方法 定理 8.2 设A 为n?n实矩阵，它的特征值λj(j=1，2，…，n)满足|λ1||λ2| … |λn| 0，则由基本QR方法产生的矩阵序列{Ak}收敛于一个上三角矩阵(其主对角线以上的元素可以不收敛)。若A是对称矩阵，则序列{Ak}收敛于一个对角矩阵. 定理 8.3 对于任何n?n 实矩阵A，由基本QR方法产生的矩阵序列{Ak}收敛于分块上三角矩阵（其主对角线子块以上的元素可以不收敛），并且每个主对角线子块有等模的特征值. * * 7.3 QR方法 要实现一步QR 方法的迭代，就需要做一次QR 分解，再做一次矩阵相乘，当A是一般矩阵时，计算量是很大的。 为了减少计算量，在实际计算时，总是先将原矩阵A经过相似变换，化为上Hessenberg矩阵 A1 =(a(1)ij)n?n， 其中，当i j+1 时，a(1)ij =0。然后对A1使用 QR 方法。容易看出，从上Hessenberg矩阵A1出发，经过迭代所得的Ak(k=2，3，…)全都是上Hessenberg矩阵。事实上，设Ak是上Hessenberg矩阵，则由于Rk?1是上Hessenberg矩阵，故 Qk= Ak Rk?1 是上Hessenberg矩阵，因而 Ak+1= RkQk 也是上Hessenberg矩阵。 * * 7.3 QR方法 6.3.3 带原点平移的QR 已经证明，基本QR方法的收敛速度一般是线性收敛的.为了加速收敛，引进带原点平移的QR 方法. 设A是n?n非奇异实矩阵，令A1= A，并取一适当的数u1，对矩阵(A1? u1I)作QR分解 A1? u1I = Q1R1 然后令 A2= R1Q1+u1I 又取一适当的数u2，对矩阵(A2? u2I)作QR分解 A2? u2I = Q2R2 反复进行这种运算，得到迭代公式 * * 7.3 QR方法 称为带原点平移的QR方法，称uk为第k次迭代中的原点平移量 产生的序列有下述性质 (1) Ak+1与Ak相似 (2)当Ak 为上 Hessenberg 阵时，Ak+1也是上 Hessenberg 阵，迭代若干次后，若 足够小，就可以认为 是特征值的近似值，然后将Ak+1的第n行第n列去掉 * * 7.3 QR方法 如果对(Ak?ukI)作QR分解时利用 Householder矩阵，则有 恰当的选用平移量uk可加速分解过程收敛，uk的选取一般有两种 (1) 令 uk= * * 7.3 QR方法 (2) 设A1已经是上 Hessenberg矩阵，则Ak的形式为 先求出Ak最右下角的二阶子矩阵 * * 7.3 QR方法 的两个特征值，然后取其中按模最小的