幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值与其对应特征向量.doc

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 1. 幂法简介： 当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A需要满足的条件为： 存在n个线性无关的特征向量，设为 1.1计算过程： 不全为0，则有 可见，当越小时，收敛越快；且当k充分大时，有，对应的特征向量即是。 2 算法实现 3 matlab程序代码 function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1; z=0; % z 相当于 y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量 x=A*y; % 迭代格式 b=max(x); % b 相当于 if abs(z-b)eps % 判断第一次迭代后是否满足要求 t=max(x); return; end while abs(z-b)eps kN k=k+1; z=b; y=x./max(abs(x)); x=A*y; b=max(x); end [m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值 t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。 end 4 举例验证 选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。结果如下： 结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下 可见，结果正确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。 二.反幂法 1.反幂法简介及其理论 在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同： ，可知，A和A-1的特征值互为倒数，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算 算法实现 3 matlab程序代码 function [s,y]=invpower(A,x0,eps,n) % s 为按模最小特征值，y是对应特征向量 k=1; r=0; % r相当于 y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量 [L,U]=lu(A); z=L\y; x=U\z; u=max(x); s=1/u; % 按模最小为A-1按模最大的倒数. if abs(u-r)eps % 判断第一次迭代后是否满足终止条件 return end while abs(u-r)eps kn % 终止条件. k=k+1; r=u; y=x./max(abs(x)); z=L\y; x=U\z; u=max(x); end [m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值 s=1/x(index); % 是原值，而非其绝对值。 end 4 举例验证 同幂法一样，选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。 可见结果正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-s*y，验证y是否是对应的特征向量。设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下 可见，结果真确。得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。 计算条件数 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，对应矩阵的3种范数，可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf)是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大病态function [r,y]=aitken(A,x0,eps,n) % r按模最大特征值,y为对应特征向量 k=1; a0=0; % a 相当于 a1=1; % a1 相当于 r0=1; % 相当于2中的 y=x0./max(abs(x0)); % 规范