幂法和反幂法求矩阵特征值课程设计书.doc

题目 幂法和反幂法求矩阵特征值 具 体 内 容 随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量，并比较不同的原点位移和初值说明收敛。 要求 1.认真读题，了解问题的数学原形； 2.选择合适问题求解的数值计算方法； 3.设计程序并进行计算； 4.对结果进行解释说明； 采用方法 及结果 说明 对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。 一．问题的分析： 求n阶方阵A的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于n阶矩阵A，若存在数和n维向量x满足 Ax=x （1） 则称为矩阵A的特征值，x为相应的特征向量。 由高等代数知识可知，特征值是代数方程 |I-A|=+a+…+a+a=0 （2） 的根。从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值，再解齐次方程组 （I-A）x=0 （3） 的解，就可得到相应的特征向量。 上述方法对于n很小时是可以的。但当n稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确的特征方程，自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。幂法特别是用于大型稀疏矩阵。（例如取u=(1,1,…1)）,置精度要求，置k=1. （2）计算 v=Au,m=max(v), u= v/ m （3）若| m= m|，则停止计算（m作为绝对值最大特征值，u作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2） 2、反幂法算法 （1）取初始向量u（例如取u=(1,1,…1)）,置精度要求，置k=1. （2）对A作LU分解，即A=LU （3）解线性方程组 Ly=u,Uv=y （4）计算 m=max(v), u= v/ m （5）若|m=m|，则停止计算（1/m作为绝对值最小特征值，u作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）. 幂法流程图： 反幂法流程图 三、算法的理论依据及其推导 （一）幂法算法的理论依据及推导 幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特征值。稍微修改该方法，也可以用来确定其他特征值。幂法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。实际上，幂法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。 1、幂法的迭代格式与收敛性质 设n阶矩阵A的特征值，,…,是按绝对值大小编号的，x(i=1,2,…,n)为对应的特征向量，且为单根，即 ||||≥…≥|| 则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为 v=Au,m=max(v), u= v/ m （1） 其中max(v)表示向量v绝对值的最大分量。 2、对于幂法的定理 按式（1）计算出m和u满足 m=, u= （二）反幂法算法的理论依据及推导 反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对幂法的修改，可以给出更快的收敛性。 1、反幂法的迭代格式与收敛性质 设A是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为 ||≥||≥…≥|||| 则按A的特征值绝对值的大小排序，有 ||||≥…≥|| 对A实行幂法，就可得A的绝对值最大的特征值1/和相应的特征向量，即A的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。 由于用A代替A作幂法计算，因此该方法称为反幂法，反幂法的迭代格式为 v= Au,m=max(v), u= v/ m （2） 2、对于反幂法的定理 按式（2）计算出的m和u满足： m=, u= 在式（2）中，需要用到A，这给计算带来很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改为求解线性方程组 A v= u （3） 但由于在反幂法中，每一步迭代都需求解线性方程组（3）式，迭代做了大量的重复计算，为了节省工作量，可事先把矩阵A作LU分解，即 A=LU 所以线性方程组（3）改为 Ly=u,Uv=y 四