2024_2025学年高中数学第1章常用逻辑用语§3全称量词与存在量词课后巩固提升含解析北师大版选修2_1.docx

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§3全称量词与存在量词

课后篇巩固提升

1.下列命题与其他命题不同的是()

A.有一个平行四边形是矩形

B.任何一个平行四边形是矩形

C.某些平行四边形是矩形

D.有的平行四边形是矩形

答案B

2.下列命题不是特称命题的是()

A.有些实数没有平方根

B.能被5整除的数也能被2整除

C.存在x∈{x|x3},使x2-5x+60

D.有一个m,使2-m与|m|-3异号

答案B

3.命题“对随意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()

A.不存在x∈R,使x3-x2+1≤0

B.存在x∈R,使x3-x2+1≤0

C.存在x∈R,使x3-x2+10

D.对随意的x∈R,x3-x2+10

答案C

4.若命题p:?x∈,tanxsinx,则命题的否定为()

A.?x∈,tanxsinx

B.?x∈,tanxsinx

C.?x∈,tanx≤sinx

D.?x∈,tanx≤sinx

答案C

5.在下列特称命题中,假命题的个数是.?

①有的实数是无限不循环小数;

②有些三角形不是等腰三角形;

③有的菱形是正方形.

答案0

6.写出下列全称命题的否定.

(1)对随意x∈R,x2+x+10:.?

(2)对随意x∈Q,x2+x+1是有理数:.?

答案(1)存在x∈R,使x2+x+1≤0

(2)存在x∈Q,使x2+x+1不是有理数

7.写出下列特称命题的否定.

(1)存在α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ:;?

(2)存在x,y∈Z,使3x-2y=10:.?

答案(1)对随意α,β∈R,有sin(α+β)≠sinα+sinβ

(2)对随意x,y∈Z,有3x-2y≠10

8.已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“?x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是.?

答案∪(1,+∞)

9.写出下列命题的否定形式,并推断其真假.

(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;

(2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;

(3)已知函数f(x)=cosx,则对随意x∈R,都有f(x)≤1;

(4)对随意x∈R,x2+20.

解(1)这一命题可以表述为“对全部的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”.其否定为“存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根”.因为当Δ=1+4m0,即m-时,一元二次方程没有实数根,所以,命题的否定是真命题.

(2)这一命题的否定为“对随意实数x,都有x2+x+10”.因为x2+x+1=0,所以它为真命题.

(3)这一命题的否定为“已知函数f(x)=cosx,则存在x∈R,有f(x)1”.因为f(x)∈[-1,1],所以命题的否定为假命题.

(4)这一命题的否定为“存在x∈R,x2+2≤0”.因为x2+2≥2,所以不存在x∈R,使x2+2≤0.

即其否定为假命题.

10.若r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10,假如对随意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围.

解因为sinx+cosx=sin∈[-],所以假如对随意的x∈R,r(x)为假命题,即对随意的x∈R,不等式sinx+cosxm不恒成立,所以m≥-.

又对随意的x∈R,s(x)为真命题,即对随意的x∈R,不等式x2+mx+10恒成立,所以方程x2+mx+1=0的判别式Δ=m2-40,即-2m2.

综上可知,假如对随意的x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则-≤m2.故m的取值范围为[-,2).