向量组的线性表示与线性相关性讲解.ppt

* 线性代数 第四章 向量组的线性相关性 * 线性代数 第四章 向量组的线性相关性 练习册 向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的判断定理和推论—练习—向量组线性表示及等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义－判定方法 讲授内容主线 向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程组,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次方程组来判定. 时间安排 讲授 讲授方法 向量组线性表示方法 难点 向量组的线性表示、相关性及判定方法 重点 作业 掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基本判定方法。 教学目的 班级： 星期 ： 节 年 月 日 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 友情提示 本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线性相关性； 下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩； 下次上课时交作业P25－P26 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 一、向量组及其相关概念 1.向量:(1)向量的定义 (2)向量与矩阵 n 维向量可写成一行—行向量；也称行矩阵；也可写成一列—列向量，也称列矩阵 因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算 （3）向量的记法： 1）列向量用用字母 表示； 行向量用 表示. 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 2.向量组的概念 （1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合： 如矩阵： 有 n 个 m 维列向量 （2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时， 都当作列向量 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 （2）矩阵与向量组： 由 m 个 n 维行向量所组成的向量组 构成一个 m×n矩阵 因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵 矩阵A组成的向量组 称为矩阵 A 的列向量组； 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 由 m 个 n 维列向量所组成的向量组 构成 一个n×m矩阵 ( ) ; , , , 2 1 m a a a A L = 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 3.线性组合的概念： 定义2 给定向量组 A ： ， 对于任何一组实数 向量 称为向量组 A 的一个线性组合， 称为这个 线性组合的系数. 4.线性表示的概念： 给定向量组 A ： 和向量 ， 如果存在一组数 使 则向量 是向量组 A 的线性组合， 这时称向量 能由向量组 A 线性表示。 线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 即向量 能由向量组 线性表示. 例如： 5.向量组由向量组线性表示概念 定义3 设有两个向量组 A： 及 B： ， 则称向量组 B 能由向 量组 A 线性表示。 6.向量组的等价：向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。 这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价 若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示， 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 7.向量组的线性相关概念 (1)定义 给定向量组 A ： ， 如果存在不全为零的数 使 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关 “否则” 只有当 时， 式才成立。 或若向量组 A ： ， 线性无关， 且 式成立， 则必有 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数 向量 能由向量组 A 线性表示， 也就是方程组有解 证： 将方程组变形为： 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 （1）秩的等式定理2: 的秩等于矩阵 向量组 : 能由向量组 : 线性 表示的充分必要条件是矩阵 的秩. 即: 2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数. 设向量组 A 与向量组 B 所构成的矩阵依次记作 B 组能由 A 组线性表示， 即对每个向量 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 第八讲：向量组的线性