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第四章 数值积分与数值微分 4.1 引言 4.2 牛顿－柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分 4.1 引言 本章讨论问题： 1)计算定积分 的数值方法，这里， ， 。 2)利用函数值的线性组合,计算函数 在某点的 导数的近似值。 数值积分的意义 当 为连续函数时，积分一定存在。但具体计 算时由于 的原函数不易求得或根本找不到初等形 式的原函数；或者 只是由测量或计算给出的一张 数据表。不能应用Newton-Leibniz公式。因此研究数值 积分。 4.1 引言 求积的基本思路 由积分中值定理 ，我们得到：存在 一个底为 而高为 的矩形，其面积恰等于所求的 定积分。我们称 为 在区间 的平均高度。 这样，只要对平均高度 提供一种算法，就得 到一种数值积分的方法。 数值积分的意义 当 为连续函数时，积分一定存在。但具体计 算时由于 的原函数不易求得或根本找不到初等形 式的原函数；或者 只是由测量或计算给出的一张 数据表。不能应用Newton-Leibniz公式。因此研究数值 积分。 4.1 引言 求积的基本思路 由积分中值定理 我们得到：存在 一个底为 而高为 的矩形，其面积恰等于所求的 定积分。我们称 为 在区间 的平均高度。 这样，只要对平均高度 提供一种算法，就得 到一种数值积分的方法。 梯形公式、矩形公式 用两个端点的函数值 和 的算术平均值作 为 的近似，就是梯形公式： 用区间中点的函数值 作为 的近似， 就的所谓中矩形公式。 4.1 引言 相关概念—求积节点、求积系数 在区间 上适当选取某些节点 ，用 加 权平均得到 的近似值，这样得到如下形式的公 式： ，其中 称为求积节点； 称 为求积系数，亦称为伴随节点 的权。 梯形公式、矩形公式 用两个端点的函数值 和 的算术平均值作 为 的近似，就是梯形公式： 用区间中点的函数值 作为 的近似， 就的所谓中矩形公式。 4.1 引言 相关概念—求积节点、求积系数 在区间 上适当选取某些节点 ，用 加 权平均得到 的近似值，这样得到如下形式的公 式： ，其中 称为求积节点； 称 为求积系数，亦称为伴随节点 的权。 本方法为机械求积。将求积分归结为计算函数值。 相关概念—代数精度 定义：如果 对所有次数 的多 项式 准确成立，而对某一次数为 的多项式不 准确成立，则称此近似公式具有 次代数精度。 4.1 引言 设 ，则计算 的梯形公式和矩形公 式分别为： ， ，我们选 择几个初等函数计算，结果如下： 本方法为机械求积。将求积分归结为计算函数值。 相关概念—代数精度 定义：如果 对所有次数 的多 项式 准确成立，而对某一次数为 的多项式不 准确成立，则称此近似公式具有 次代数精度。 4.1 引言 设 ，则计算 的梯形公式和矩形公 式分别为： ， ，我们选 择几个初等函数计算，结果如下： 梯形公式和矩形公式对1，x是精确成立的，从而对所 有的次数 的多项式 精确成立。 4.1 引言 代数精度的确定 欲使求积公式 具有 次代数精度， 只要令它对于