第四章 数值微分积分.ppt

Ch8 数值微分和数值积分 1.数值微分 例 对函数 y = ex,选取不同的步长进行计算 f (1.15),观察误差的变化规律，确定最佳步长。 解 用中心差商表示的数值微分计算公式得到： h f (1.15) error h f (1.15) error 0.1 3.1630 -0.0048 0.05 3.1590 -0.0008 0.09 3.1622 -0.0040 0.04 3.1588 -0.0006 0.08 3.1613 -0.0031 0.03 3.1583 -0.0001 0.07 3.1607 -0.0025 0.02 3.1575 0.0007 0.06 3.1600 -0.0018 0.01 3.1550 0.0032 例 给定三个插值点(xi, f(xi)), i = 0,1,2, 求三个节点的数值微分。 解 记 将 x = xi 代入 f (x), 得到三点数值微分公式： 取 n =2，得三点公式的截断误差分别为： 或者,将 f(x1)和 f(x2)在 x0点Taylor展开，也可得截断误差为O(h2)。 2.数值积分 数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式 Newton-Cotes公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计 龙贝格求积公式及外推技术 Gauss型积分  数值积分的必要性 主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) ? 有解析表达式； ? f(x)的原函数F(x)为初等函数． 假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的 高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近 似2π英寸为一个周期. 求制做一块波纹 瓦所需铝板的长度L. 这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数  f(x)没有解析表达式，只有数表形式: 求积公式及其代数精度 求积公式的概念 积分值　　　　　　　　　 　 在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有 困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x) 是曲的. 　　 依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在[a,b]内存在一点ξ,使得 如果简单地选取区间[a,b]的一个端点或区间中点的高度作为平均高度,这样建立的求积公式分别是: 左矩形公式: I(f)≈(b-a)f(a) 右矩形公式: I(f)≈(b-a)f(b) 中矩形公式: I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2] 此外,梯形公式: I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2 和 Simpson公式: I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6 则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三点 高度的加权平均值 [f(a)+f(b)]/2 和 [f(a)+4f(c)+f(b)]/6 作为平均高度f(ξ)的近似值. 更一般地,取区间[a,b]内n+1个点 {xi},(i=0,1,2,…,n)处的高度{f(xi)} (i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积: 记 Newton-Cote’s 公式 复化求积 区间[0,1]分半,令区间长度 , 计算 加速一次 这时 未达到精确度要求. 为此,再将区间分半,令区间长度 递推计算 外推加速 分别用 和 的组合得到 以及用 和 的组合得到 ,即 以及 这时, 已满足精度的要求. 作为所求积分的近似,其误差为 . Gauss型积分公