第四章 数值积分与数值微分-1.ppt

* 一般地，若记 则有 （4.9） 经过 次加速后， （4.10） 上述处理方法通常称为理查森外推加速方法. 余项便取下列形式： 4.4.3 Romberg算法 * 设以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示 序列 的 次加速值，则依递推公式(4.9)可得 公式(4.11)也称为龙贝格求积算法. （4.11） * 【Romberg算法的计算过程】  (1) 取 令 ( 记区间 的二分次数). (2) 求梯形值 即按递推公式(4.1)计算 (3) 求加速值，按公式(4.11)逐个求出T表(见表4-5)的 第 行其余各元素 求 (4) 若 (预先给定的精度)，则终止计算， 并取 否则令 转(2)继续计算. * * 可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 ，即 对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算， 只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算. * 例6 解 在 上仅是一次连续可微， 用龙贝格算法计算积分 用龙贝格算法计算结果见表4-5. * 从表中看到用龙贝格算到 的精度与辛普森求积 精度相当. 这里 的精确值为 * * * 4.2.3 几种低阶求积公式的余项 按余项公式(1.7)，梯形公式(1.1)的余项 这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)， 应用积分中值定理，在 内存在一点 , 使 （2.5） * 为研究辛普森公式(2.3)的余项 构造次数 不超过3的多项式 满足 （2.6） 其中 辛普森公式具有三次代数精度，对于这样构造出的三次式 应是准确的，即 * 对于多项式 ，其插值余项由第2章(4.5)得 由插值条件(2.6)，上式右端实际上等于按辛普森公式(2.3) 求得的积分值 ， 因此积分余项 故有 * 这时积分的核函数 在 上保号 类似地，可得Cotes公式 的余项 （2.8） (非正)，再用积分中值定理得Simpson公式的余项 （2.7） * 4.3 复合求积公式 复合求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通 常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提 高精度. 4.3.1 复合梯形公式 将区间 划分为 等分， 在每个子区间 上 分点 应用梯形公式(1.1)，则得 * （3.1） 记 称为复合梯形公式. （3.2） * 由(1.10) ，其余项 由于 , 且 所以 使 于是复化梯形公式余项为 * （3.3） 误差是 阶， 且当 时有 即复化梯形公式是收敛的. 将 改写为 * 此外， 的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是 稳定的. 只要 则当 时，上式右端括号内的两个 和式均收敛到积分 所以复化梯形公式(3.2)收敛. * 4.3.2 复化辛普森求积公式 将区间 分为 等分， 在每个子区间 上 若记 记 （3.5） 采用辛普森公式(2.3)， 则得 （3.4） * 称为复化辛普森求积公式. 由(2.5)，其余项 于是当 时， （3.6） 误差阶为 ，显然是收敛的. 与复化梯形公式相似有 * 实际上，只要 则可得到收敛性， 即 此外，由于 中求积系数均为正数，故知复化辛普森 公式计算稳定. * 例1 对于函数 ， 给出 的函数表 并估计误差. 解 将积分区间 划分为8等分， (见表4-2)， 计算积分 应用复化梯形法求得 试用复化梯形公式(3.2)及复化辛普森公式(3.5) * 而如果将 分为4等分，应用复化辛普森法有 以上得到的两个结果 与 ，都需要提供9个点上的 同积分的准确值 比较，复化梯形法的 接下