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第5章 数值积分与数值微分方法 1 基本概念 梯形公式 中矩形公式 则上式为一个数值求积公式. 称为求积系数，称为求积节点;而称 为求积余项或求积公式的截断误差。 从定义可以看到，数值求积公式依赖于求积节点个数n、求积节点和求积系数，这三个量有一个发生变化，则产生不同的求积公式. 定义1 若求积公式对于次数不超过的多项式准确成立，而对于次多项式不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度为. 一般，一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好. 确定代数精度的方法 依次取代入公式 并验证是否成立. 若第一个使不成立的值为，则对应的代数精度为. 例1确定求积公式 的代数精度. 解 取代入求积公式有 易验证 ，但，故本题求积公式代数精度为3. 例 2确定下面求积公式 的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度. 解 本题要先求出具体的求积公式，然后再判断所求公式的代数精度。 公式有3个待定参数，故利用3个条件得到的3个等式关系就可以解决求出具体求积公式的问题. 依次取代入求积公式并取等号，有 解之得 故所求的求积公式为 为确定其代数精度，再取代入求出的公式继续计算，有，故所求的求积公式具有二次代数精度. 插值型求积公式 考虑关于个节点的Lagrange插值多项式与的余项，有 这里 两边取积分,有 记 则有 若舍去，得求积公式 (求积系数)该公式是插值型求积公式。 插值型求积公式的求积余项 当为次数不超过次的多项式时，有，对应的. 因此个节点的插值型求积公式的代数精度至少为 若求积公式 的代数精度至少是，则该公式是插值型求积公式. 2. Newton-Cotes求积公式 点的Newton-Cotes公式 将求积节点取为[a,b]上的等距节点 做积分变量变换 有 记 称为Cotes系数.求积公式 称为Newton-Cotes求积公式. 易验证 2 点的Newton-Cotes公式 这正是我们熟悉的梯形公式. 3点的Newton-Cotes公式为 称它为Simpson公式. 例1 试分别用梯形公式和Simpson公式计算 解 用梯形公式计算，有 用Simpson公式计算，有 梯形公式与Simpson公式的余项 梯形公式余项为 利用积分中值定理可有 梯形公式余项 Simpson公式的余项 部分Cotes系数 n 1 2 3 4 5 6 7 8 当较大时Cotes系数会出现负数，此时Newton-Cotes不具有数值稳定性，因而一般不用较大的Newton-Cotes公式来做计算. 3 复化求积公式 1）复化梯形公式 取等距节点将积分区间[a,b] n等分,在每个小区间上用梯形公式做近似计算，就有 得求积公式---复化梯形公式 复化梯形公式的余项 记 故复化梯形公式的求积余项 2) 复化Simpson公式 取等距节点将积分区间[a,b] n等分,在每个小区间上用Simpson公式做近似计算，再累加起来就有 式中，得复化Simpson公式 复化Simpson公式的余项 记 有复化Simpson公式的求积余项 例1 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算 ，要求误差不超过. 解 数值计算结果列表，其中代表求积余项. N 复化梯形公式 复化Simpson公式 2 -17.389 259 5.32 -11.592 840 -0.478 22 -13.336 023 1.27 -11.984 944 23 -12.382 162 0.312 -12.064 209 24 -12.148 004 -12.069 951