[第四章数值积分与数值微分.ppt

第四章 数值积分 与数值微分  或写成: 定理 若f(x)?C[a,b],则Gauss型求积公式所求积分 值序列 收敛于积分值I(f), 即 定理 Gauss型求积公式的求积系数都大于零，从而Gauss型求积公式是数值稳定的。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 五、高斯型积分 具有2n+1次代数精度的插值型求积公式 节点称为Gauss 点 称为Gauss 型求积公式。 注：Gauss型求积公式是代数精度最高的插值型求积公式 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 事实上，对于插值型求积公式 其代数精度最高可达到2n+1次(Gauss型求积公式）。 考虑2n+2次多项式 ， 其中， 而 故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 高斯型求积公式的构造 将节点 以及系数 都作为待定系数。 并令求积公式对 精确成立 可得非线性方程组 1、待定系数法 求解该方程组即可得相应的求积节点与求积系数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例：求 的 2 点 Gauss 公式。 解：设 ，应有 3 次代数精度。 ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x 令上述公式对f (x) = 1, x, x2, x3 精确成立可得 不是线性方程组，不易求解。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理： 　　　 x0 … xn 为 Gauss 点 ? 与任意次数不大于n 的多项式 P (x) （带权）正交。 证明： “?” x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： = 0 0 ? 求 Gauss 点 ? 求w(x) 2、正交多项式法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 不大于 的多项式 精确成立，即证明： “?” 要证明 为 Gauss 点， 即要证公式对任意次数 设 0 ? Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与?n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的?n+1，则?n+1的根就是 Gauss 点。 Evaluation only. Create