第四章 微分学-2.ppt

注：若 是一个 阶多项式，则 ；否则余项 定理2.若 在点 具有 阶导数 ，则 其中余项 （当 时） 证明：由 知 我们需要证明 ，即 令 ，显然 于是反复利用广义中值定理，得 这样继续下去，经 次后，得 注：Talor公式： 余项 的Peano形式： 定理3.设 在 上（或 上）具有连续的 阶导数 ， 并且 在 上（或 上）存在，则泰勒公式 这里余项为 其中 ，（4.5-13）叫做余项 的Cauchy形式。 证明：只就的情形证明 作辅助函数 由假定知， 在 上连续，在 上可导，并且 对函数 与，在 上应用广义中值公式 得 即 在（4.5-14）中令 （取 ），得 在（4.5-14）中令 （取 ），得 令 于是得 注：（1）由于令 ，有 故Lagrange余项可写为 （2）特别： ，则Talor公式为 其中余项的形式为：Peano形式： Lagrange形式： Cauchy形式： （3）在带Peano余项的Talor公式中，令 ，得 记 （4）在带Lagrange余项的Talor公式中，令 ，得 例2.求 在 处的展开式 故 各阶导数都存在且连续，则 特别 例3.求 在 处的展开式 且 故 的各阶导数都存在且连续， 则 解：因为 解：因为 * * 其中 在 与 之间。 其中 在 与 之间。 成立， 则 *