第二章极限与连续基础练习题(含解答).doc

第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．极限为1 2．极限为0 3．极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1． 极限为零 2． 无极限 3． 极限为 4． 无极限，趋于 二、设，问当，时，的极限是否存在？ ； ； 不存在。 三、设，求 时的左、右极限，并说明时极限是否存在． 不存在。 四、试讨论下列函数在时极限是否存在． 1．绝对值函数，存在极限为零 2．取整函数 不存在 3．符号函数 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当时，；当时，不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1．， 时，或时，为无穷小量； 时，或时，为无穷大量。 2． , 时，，则，从而为无穷小量； 时，，则，从而为无穷小量； 时，，则，从而为无穷大量； 三、当时，，和都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？ ，所以当时，是的高阶无穷小量。 ，所以当时，是的高阶无穷小量。 ，所以当时， 是的高阶无穷小量。 通过比较可知，当时，，和不是同阶无穷小量，其中是和的高阶无穷小量，因此是三者中最高阶的无穷小量。和都是的高阶无穷小量，因此是三者中最低阶的无穷小量。 四、利用无穷小量与极限的关系证明：． 证明：设，，则由无穷小量与极限的关系，，，其中为时的无穷小量。 则 §2.4 极限的性质与运算法则 一、如果，则存在的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立． （1）有界；（2）非负；（3）落入其中；（4），． 二、求下列函数的极限 1． 2． 3． 4．　　 5． 6．　　　 原式 原式 三、求，使得 必有同时有 四、若为有限值，求 §2.5 极限存在性定理与两个重要极限 一、判断题： 1．错 2．对 3．错 4．对 5．错 6．对 7．当时，都是的等价无穷小．对 二、求下列函数极限： 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 三、求极限 ． 由两面夹法则 四、设，证明数列的极限存在． 由单调有界定理，数列的极限存在. 五、设，，且有，，证明数列的极限存在，并求极限． 由单调有界定理，数列的极限存在 §2.6 函数的连续性 一、填空题 1．设函数，若补充 -1 可使在处连续． 2．是函数的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． 3．是函数的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． 是函数的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点． 是函数的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． 4．是函数的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点． 5．是函数的第 2 类间断点． 二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型： 1． ，为第一类跳跃间断点。 2． ，为第二类无穷间断点。 3． 为第一类跳跃间断点。 为第一类可去间断点。 为第二类无穷间断点 四、，确定使 1．在处有极限， 2．在处连续． 五、，确定使同时满足 （1）是的无穷间断点，即（2）是的可去间断点，即 六、设在上连续，且，，证明在区间上至少存在一点，使得． 证明：设，则也在上连续。 且有即。 若，由零点定理，在开区间内至少存在一点，使得． 若，则，此时区间端点是函数的零点。 综上，在区间上至少存在一点，使得．