02-第二章-极限与连续-习题详解.pdf

第二章 极限与连续 习 题 2.1 1．观察下列数列的变化趋势，判别哪些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限． 1 ⎧ π⎫ ⎧ ⎫ (1) { } ； (2) x cos ； x ⎨ ⎬ { } ⎨ ⎬ n 2n n ⎩ n ⎭ ⎩ ⎭ 1 n −1 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ (3) x n =− ； (4) x ； { } ⎨ ⎬ { } ⎨ ⎬ n n ⎩ n ⎭ n +1 ⎩ ⎭ ⎧2n −1⎫ (5) n x (=−1) n ； (6) { } ． { } { } x ⎨ ⎬ n n ⎩ 3n ⎭ 解 (1) 当n →∞时，极限为 0 ； (2) 当n →∞时，极限为 1； (3) 当n →∞时，极限不存在； (4) 当n →∞时，极限为 1； (5) 当n →∞时，极限不存在； (6) 当n →∞时，极限为 0 ． n ⎧ ⎫ 2 ．对于数列 x ，给定(1) ε 0.1 ；(2) ε 0.01 ；(3) ε 0.001 时，分别 { n } ⎨ ⎬ n +1 ⎩ ⎭ 取怎样的N ，才能使当n N 时，不等式 x −1 ε成立，并利用极限定义证明此数列的 n 极限为 1． n 1 1 解 (1) 要使 x −1 −1 ε 0.1，只要n +1 10 ，n 9 ，故取 n n +1 n +1 0.1 N 9 即可． n 1 1 (2) 要使 xn −1 −1 ε 0.01 ，只要n +1 100 ，n 99 ，故取 n +1 n +1 0.01 N 99 即可．