《高等数学》电子课件（自编教材）第二章 第1节 导数的概念.ppt

* * 求 解： 中当 所以，尽管在 x = 0 的左右两侧 f (x)的表达式一样， 仍需要用充要条件去判别。 不存在 2、已知 * * 解: 因为 设 存在, 且 求 所以 3、 * 在 处连续, 且 存在， 证明: 在 处可导. 证：因为 存在， 则有 又 在 处连续, 所以 即 在 处可导. 4、设 故 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 * 暗暗暗暗 * 导数概念的产生 导数思想最早由法国数学家Fermat在研究极值问题中提出 微分学的创始人 英国数学家 Newton （1642 ~ 1727） 德国数学家 Leibniz （1646 ~ 1716） (1601~1665) * 一、引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 * 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 * 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 * 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题 加速度 电流强度 线密度等 * 二、导数的定义 * 2、导数的其它形式 * * * 三、由定义求导数 例1 * 求导的一般步骤： 例2 解 * 例3 解 * 例4 解 更一般地 例如, * 例5 解 * 例6 解 * 解: 原式 * 四、导数的几何意义与物理意义 1.几何意义 切线方程为 法线方程为 * 例8 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 * 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度. * 导数定义的其它形式 * 2.右导数: 五、左右导数 1.左导数: ★ ★ * 例9 解 * 六、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 * 注意: * 例10 解 * * * 例12. 问曲线 哪一点有垂直切线? 在哪一点处的 切线与直线 平行? 并写出切线方程 . 解: 故在原点( 0 , 0 )有垂直切线 令 得 对应 所以在点(1,1) , (–1,–1)的切线与直线 平行, 切线方程分别为 即 * 六、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. * 练习与思考题 解： * 暗暗暗暗