第4章节线性代数方程组的迭代解法.ppt
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线性代数方程组的迭代解法.ppt
关于线性代数方程组的迭代解法第1页，课件共25页，创作于2023年2月§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中第2页，课件共25页，创作于2023年2月如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：第3页，课件共25页，创作于2023年2月二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。?G-S迭代法的分量形式：第4页，课件共25页，创作于2023年2月例1：利用Jacobi和Gauss-Seid
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线性代数方程组的迭代解法.ppt
关于线性代数方程组的迭代解法§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中第2页,共25页，2024年2月25日，星期天如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：第3页,共25页，2024年2月25日，星期天二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。?G-S迭代法的分量形式：第4页,共25页，2024年2月25日，星期天例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组解：Jac
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线性代数方程组的迭代解法.ppt
关于线性代数方程组的迭代解法第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。?G-S迭代法的分量形式：第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日例1：利用Jacobi和Ga
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线性代数方程组的迭代解法.ppt
第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日§2Jacobi和Gauss-Seidel迭代法一、Jacobi迭代法设方程组将系数矩阵分裂为：其中第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日如果原方程组可化为其中相应的迭代格式上述方法称为Jacobi迭代法，简称J法或简单迭代法分量形式：第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日二、Gauss-Seidel迭代法G-S迭代法是J迭代法的一种改进在J迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。?G-S迭代法的分量形式：第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日例1：利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求
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第三章线性代数方程组的迭代解法.ppt
; 对于大型方程组，常用迭代法求解。迭代法与直接法不同，它不能通过有限次的算术运算求得方程组的精确解，而是通过逐步迭代逼近方程组的精确解。但在使用迭代法时，必须考虑收敛性的问题。迭代法较直接法有较明显的优点：程序设计简单，存储量和计算量少等，迭代法其是求解具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。;3.2 迭代法的一般迭代格式
迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值 ，按某种计算规则，不断地
对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。
;设 非奇异， ，则线性方程组
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chapter03线性代数方程组的迭代解法.ppt
第3章 线性方程组的迭代解法;3.1 迭代法的基本概念;3.1.2 向量序列和矩阵序列的极限;Rn中的向量序列{x(0),x(1),…, x(k),..},也记为{x(k)}k=0?,也简记为{x(k)}。;3.1.2 向量序列和矩阵序列的极限;3.1.2 向量序列和矩阵序列的极限;3.1.3 迭代公式的构造;3.1.3 迭代公式的构造;3.1.3 迭代法的构造;3.1.3 迭代法的构造;Jacobi迭代法计算过程：定义两个一维数组xold和xnew作为前后两次迭代近似解的存储单元。;上面的方法称为Jacobi迭代法。
这一方法有个缺点:
需要两组存储单元存放解x的值。
但是早先的计算机，
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线性代数方程组的解法.ppt
第五章线性代数方程组的解法
5.1预备知识
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湘潭大学数学与计算科学学院1
求解线性方程组
Axb
a11a12a1n
a21a22a2n
其中A且|A|0
an1an2ann
。
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湘潭大学数学与计算科学学院2
利用Cramer法则求解时存在的困难是：当方程
组的阶数n很大时，计算量为O(n!)O(n2)
常用计算方法:
(1)直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计
算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得
方程解的精确结果.
Gauss逐步（顺序）消去法、
主元素法、矩阵分解法等；
Gauss上
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线性代数方程组的解法下.ppt
解线性方程组的迭代法*直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)01迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）02直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。03迭代法概述*迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。收敛
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线性代数方程组的直接解法.pptx
线性代数方程组的直接解法;3、2解线性方程组得直接法(高斯消去法);(1)消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程②上去,将方程①乘上加到方程③上去,这样就消去了第2、3个方程得项,于就是就得到等价方程组;第2步:将方程④乘上加到方程⑤上去,这样就消去了第3个方程得项,于就是就得到等价方程组;前述得消元过程相当于对原方程组;由此看出,高斯消去法解方程组基本思想就是设法消去方程组得系数矩阵A得主对角线下得元素,而将Ax=b化为等价得上三角形方程组,然后再通过回代过程便可获得方程组得解。换一种说法就就是用矩阵行得初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵,而以上三角形矩阵为系数得方程组得求解
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线性代数方程组的直接解法.pptx
?平方根法(Cholesky乔列斯基分解方法)当为实对称正定矩阵时，三角分解法的变形。?实对称正定矩阵的几个重要性质?A?1亦对称正定，且aii0?A的顺序主子阵Ak亦对称正定?A的特征值?i0?A的全部顺序主子式det(Ak)0（充要条件）§3.3平方根法
（Cholesky分解）如果是正定矩阵，则存在一个对角元素为正数的下三角矩阵，使得。证明：设则的所有顺序主子式为正矩阵存在Doolittle分解易证其中为的主对角元素，且有
记单位上三角其中
由对应元素相等得设?Cholesky分解的计算公式
Cholesky分解公式01
因对称性无需存储Step1Step2Step3Stepn的计算过程
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线性代数齐次方程组解法.doc
D=
按第一列展开，再将各列的公因子提出来
D=
=(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1)
得到的k－1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为
于是 D=(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1)=
因此，对于任意正整数n≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕
例1.14 计算n阶三对角行列式：
Dn=
解 由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和，得
Dn=+
第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得
Dn=Dn－1+=Dn－1+1
反复利用上面的递推公式，得到
Dn=Dn－1+1=Dn－
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三线性代数方程组的解法.PPT
第三章 线性代数方程组的解法 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。 解线性代数方程组的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。 关于线性方程组的数值解法一般有两类。 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题. 设线性方程组 简记 AX=b 其
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线性代数课件-线性方程组的解法.pptx
第二节线性方程组的解法
一、线性方程组有解的判定条件问题：证必要性.(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而
这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR即充分性.(),nrAR=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.
证必要性．,有解设方程组bAx=()(),BRAR设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此
并令个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解．充分性.()(),BRAR=设()()(),nrrB
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pdf4.2线性方程组的解法(线性代数).pdf
4.2
AX=B : 0, 1, .
, .
()(),
, ,
. .
,:
?
,?
.
n(I)(II), (I)
(II), (II)(I) ,
.
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线性代数齐次线性方程组的解法.ppt
第五节 齐次线性方程组的解法 齐次线性方程组解的性质 一.齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 二、基础解系及其求法 三、小结 * * 基础解系及其求法 （1 写成矩阵形式为 其中 为（1）的系数矩阵， １．解向量的概念 称为方程组（1）的解向量，亦即方程组（1）的解。 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 （2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． 证明 证毕. １．基础解系的定义 如果 解系