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非线性微分方程解的稳定性 本论文内容提要 一、非线性方程的基本概念 二、李雅普诺夫函数的稳定性 三、按线性近似决定微分方程的稳定性 四、李雅普诺夫第二方法 五、结论 一、非线性微分方程的基本概念 1.自然界绝大部分现象是非线性现象，非线 性现象是一种非常复杂的现象。 2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。 3.线性问题是非线性问题的基础,在一定条件 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 个难题。 * * 姓 名：刘娟娟 学 号：104131212 班 级：数学102 指导老师: 毛旭平 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 19世纪末20世纪初 Poincare(法国) 创立微分方程定性理论 Liapunov(俄国) 创立微分方程稳定性理论 Logistic方程 Logistic方程 两个常数解(平衡解): 问题：该方程的其它解与这两个平衡解有何关系？具体地说，初值在两个平衡解附近的解的长期行为怎样？这就是解的稳定性问题。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 现在假设 那么 容易得到满足初值条件的特解为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 微分方程解的稳定性严格定义: 考虑微分方程组 或其向量形式 其中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注: 对 阶方程 可取变换 化为（1）式的特殊形式 问题:（1）式的解存在唯一吗？解能延拓吗？解对初值、参数有连续依赖性和可微性吗？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 当向量值函数 满足下面的Lipschitz条件时，上述问题的回答是肯定的。这一点从前面的基本定理可以推得。 L 称为利普希茨常数，范数定义为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、李雅普诺夫函数的稳定性 　 如果对于任意给定的 和 都存在 只要使得 就有 对一切 成立，则称微分方程 　　 的解是稳定的，否则是不稳定的。 定义1 如果对任意给定的 存在 （ 一 般与 和 有关）,使得当任一 满足 时，方程组（3）满足初始条件 的 解，均有 对一切 成立，则称方程组（3）的零解 为稳定的。 Evaluatio