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微分方程稳定性理论简介微分方程稳定性理论简介.doc

发布:2016-12-26约5.98千字共14页下载文档
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第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容: 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 右端不显含自变量t,代数方程 (2) 的实根称为方程(1)的平衡点(或奇点),它也是方程(1)的解(奇解)如果从所有可能的初始条件出发,方程(1)的解都满足 (3) 则称平衡点是稳定的(稳定性理论中称渐近稳定);否则,称是不稳定的(不渐近稳定)。 判断平衡点是否稳定通常有两种方法,利用定义即(3)式称间接法,不求方程(1)的解,因而不利用(3)式的方法称直接法,下面介绍直接法。 将在做泰勒展开,只取一次项,则方程(1)近似为: (4) (4)称为(1)的近似线性方程。也是(4)的平衡点。关于平衡点的稳定性有如下的结论: 若,则是方程(1)、(4)的稳定的平衡点。 若,则不是方程(1)、(4)的稳定的平衡点 对于方程(4)的稳定性很容易由定义(3)证明,因为(4)的一般解是 (5) 其中C是由初始条件决定的常数。 二阶(平面)方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 (6) 右端不显含t,代数方程组 (7) 的实根称为方程(6)的平衡点。记为 如果从所有可能的初始条件出发,方程(6)的解都满足 (8) 则称平衡点是稳定的(渐近稳定);否则,称P0是不稳定的(不渐近稳定)。 为了用直接法讨论方法方程(6)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程 (9) 系数矩阵记作 并假定A的行列式 于是原点是方程(9)的唯一平衡点,它的稳定性由的特征方程 的根(特征根)决定,上方程可以写成更加明确的形式: (10) 将特征根记作,则 (11) 方程(9)的解一般有形式()或() 为任意实数。由定义(8),当全为负数或有负的实部时是稳定的平衡点,反之,当有一个为正数或有正的实部时是不稳定的平衡点 微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型,完全由特征根或相应的取值决定,下表简明地给出了这些结果,表中最后一列指按照定义(8)式得下马看花关于稳定性的结论。 表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性 平衡点类型 稳定性 稳定结点 稳定 不稳定结点 不稳定 鞍点 不稳定 稳定退化结点 稳定 不稳定退化结点 不稳定 稳定焦点 稳定 不稳定焦点 不稳定 中心 不稳定 由上表可以看出,根据特征方程的系数的正负很容易判断平衡点的稳定性,准则如下:若 (12) 则平衡点稳定,若 (13) 则平衡点不稳定 以上是对线性方程(9)的平衡点稳定性的结论,对于一般的非线性方程(6),可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性,在点将和作泰勒展开,只取一次项,得(6)的近似线性方程 (14) 系数矩阵记作 特征方程系数为 , 显然,点对于方程(14)的稳定性由表1或准则(12)、(13)决定,而且已经证明了如下结论: 若方程(14)的特征根不为零或实部不为零,则点对于方程(6)的稳定性与对于近似方程(14)的稳定性相同。 这样,点对于方程(6)的稳定性也由准则(12)、(13)决定。 第六节 种群的相互竞争与相互依存 当某个自然环境中只有一种生物的群体(生态学上称为种群)生存时,人们常用Logistic模型来描述这个群数量的演变过程,即 (1) x(t)是种群在时刻t的数量,是固有增长率,N是环境资源容许的种群最大数量,在前面我们曾应用过这种模型,由方程(1)可以直接得到,=N是稳定平衡点,即t→∞时x(t)→N,从模型本身的意义看这是明显的结果。 如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存,那么它们之间就要存在着或是相互竞争,或是相互依存,或是弱肉强食(食饵与捕食者)的关系
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