微分方程稳定性理论简介微分方程稳定性理论简介.doc

第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 （1） 右端不显含自变量t，代数方程 （2） 的实根称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足 （3） 则称平衡点是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将在做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： （4） （4）称为（1）的近似线性方程。也是（4）的平衡点。关于平衡点的稳定性有如下的结论： 若，则是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若，则不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 （5） 其中C是由初始条件决定的常数。 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 （6） 右端不显含t，代数方程组 （7） 的实根称为方程（6）的平衡点。记为 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解都满足 （8） 则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则，称P0是不稳定的（不渐近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 （9） 系数矩阵记作 并假定A的行列式 于是原点是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 的根（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： （10） 将特征根记作，则 （11） 方程（9）的解一般有形式（）或（） 为任意实数。由定义（8），当全为负数或有负的实部时是稳定的平衡点，反之，当有一个为正数或有正的实部时是不稳定的平衡点 微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。 表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性 平衡点类型 稳定性 稳定结点 稳定 不稳定结点 不稳定 鞍点 不稳定 稳定退化结点 稳定 不稳定退化结点 不稳定 稳定焦点 稳定 不稳定焦点 不稳定 中心 不稳定 由上表可以看出，根据特征方程的系数的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若 （12） 则平衡点稳定，若 （13） 则平衡点不稳定 以上是对线性方程（9）的平衡点稳定性的结论，对于一般的非线性方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性，在点将和作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程 (14) 系数矩阵记作 特征方程系数为 , 显然，点对于方程（14）的稳定性由表1或准则（12）、（13）决定，而且已经证明了如下结论: 若方程（14）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。 这样，点对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。 第六节 种群的相互竞争与相互依存 当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic模型来描述这个群数量的演变过程，即 (1) x（t）是种群在时刻t的数量，是固有增长率，N是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，=N是稳定平衡点，即t→∞时x(t)→N，从模型本身的意义看这是明显的结果。 如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系