马知恩_常微分方程定性与稳定性理论.pdf
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微分方程与稳定性理论 .ppt
6.6 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它也是(1)的解(奇解). 如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 (3) 则称平衡点x0是稳定的
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微分方程稳定性理论简介微分方程稳定性理论简介.doc
第五节 微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
（1）
右端不显含自变量t，代数方程
（2）
的实根称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足
（3）
则称平衡点是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点是否稳
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微分方程稳定性理论 数学建模课件.ppt
稳定性理论 北京邮电大学 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。 动态过程的变化趋势可能趋于稳定，也可能在某些情况下会不稳定。为了分析这种稳定和不稳定的规律，常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程的稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性即可。 常微分方程的定性和稳定性理论成为数学建模必备的基础理论知识。 微分方程稳定性理论简介 基本概念 考虑 n 维空间Rn 中的向量值函数 称点
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微分方程与稳定性理论简介 .ppt
6.6 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它也是(1)的解(奇解). 如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 (3) 则称平衡点x0是稳定的
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常微分方程稳定性理论图解方法.docx
常微分方程稳定性理论图解方法
一、常微分方程稳定性理论的基本概念
（一）稳定性理论的核心问题
稳定性理论研究微分方程解的长期行为，特别是平衡点附近的动态特性。其核心在于判断当系统受到微小扰动时，解是否会回归原平衡状态或发散。例如，对于方程x=f(x)，若存在x
（二）平衡点的分类
平衡点可分为稳定结点、不稳定结点、鞍点、中心点等多种类型。例如，在二维系统中，雅可比矩阵的特征值实部符号决定了平衡点的性质：若所有特征值实部为负，则为稳定结点；若存在正实部，则为鞍点或不稳定结点。
（三）图解方法的意义
图解方法通过几何直观展示解的轨迹和向量场，弥补了纯解析方法的抽象性。例如，相平面分析法通过绘制轨迹
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微分方程稳定性理论简介.pdf
第五节微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一、一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
dx
f(x)（1）
dt
右端不显含自变量t，代数方程
f(x)0（2）
的实根xx称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）
0
如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足
x(t)
limx(t)x（3）
0
t
则称平衡点是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称是不稳定xx
00
的（不渐近稳定）。
判断平衡点是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不x
0
求方程（1）的解，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直
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微分方程稳定性.pptx
微分方程稳定性理论1.一阶方程的平衡点及稳定性自治方程：方程右端不显含自变量。例平衡点：方程右端函数 的实根 ，或称为奇点，它也是自治方程的解。若存在某邻域，使得自治方程的解x（t）从这个邻域内的某x(0)出发满足则称平衡点 是稳定的；否则称为不稳定的。稳定点的判断方法：直接法和间接法。间接法：定义例7 本章第2节中的Logistic模型 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标 的空间Rn。图3-17 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者
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微分方程稳定性..doc
目录
摘要 3
ABSTRACT 4
前言 5
微分方程稳定性分析原理 6
捕鱼业的持续收获模型 10
种群的相互竞争模型 14
参考文献 18
摘要
微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和
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常微分方程解的稳定性(修改)..doc
常微分方程解的稳定性
摘要 本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。
关键字： 常微分方程 稳定性 李雅普诺夫函数 V函数构造方法
引言
常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法 ,开创了常微分方程定性理论 , 同时在分析中引入几何方法 ,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁 ,带来了微分方
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微分方程与稳定性-2 .ppt
5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？ 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 稳定性模型 1
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微分方程的稳定性模型.ppt
模型假设 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。 模型 乙为甲提供食物是甲消耗的?1 倍 甲为乙提供食物是乙消耗的?2 倍 种群依存模型的平衡点及稳定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点 稳定条件 不稳定 平衡点 平衡点P2稳定性的相轨线 0 ?11, ?21, ?1?21 P2稳定 ?1?21 ~ ?21 前提下P2存在的必要条件 结果解释 ?21 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 ?2
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数学建模微分方程的稳定性.ppt
数学建模微分方程的稳定性稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性.第2页,共28页，星期六，2024年，5月1微分方程稳定性的理论知识1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性第3页,共28页，星期六，2024年，5月1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点.不求x(t),判断x0稳定性的方法—
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基于控制的随机微分方程稳定性研究.pdf
Studyofstochasticdifferentialequationstability
basedoncontrol
Abstract
Thisthesismainlyfocusesonthestudyofstochasticdifferentialequationstability
basedonaperiodicallyintermittentcontrolandfeedbackcontrol,respectively.Thiswork
isdividedintotwosections.Inthefirstsection,wediscussthefollowingMcKean-Vla
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基于不确定微分方程稳定性的研究.pdf
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常微分方程平衡点及稳定性研究课件.doc
摘 要
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型
的平衡点的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统 平衡