微分方程与稳定性-2 .ppt

5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？ 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 稳定性模型 1 捕鱼业的持续收获 2 军备竞赛 3 种群的相互竞争 4 种群的相互依存 5 种群的弱肉强食 稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。 进一步假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数 目的 建模 军备竞赛的结局 微分方程的平衡点及其稳定性 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量 ?, ? ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 t ? ?时的x(t)，y(t) 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 特征方程 特征根 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根 平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定 ?1,2为负数或有负实部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 平衡点 稳定性判断 系数矩阵 平衡点(x0, y0)稳定的条件 模型 军备竞赛 模型的定性解释 双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。 平衡点 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。 模型 ?, ? ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞